第四章 线性空间和欧氏空间

返回主界面 第四章线性空间和欧氏空间 线性代数与空间解析几何电子教案网络版 说明 由于PowerPoint软件版本差异 在您的电脑上浏览本电子课件可能有些内容出现会出现异常 课件作者 王小才 4 1向量空间Rn及其子空间 4 2Rn中的度量与正交变换 4 3线性空间和线性变换 4 4欧氏空间和正交变换 第四章线性空间和欧氏空间 4 1向量空间Rn及其子空间 一 向量空间 基和维数 1 n维实 列 向量的全体 Rn x1 x2 xn T R 关于向量 即列矩阵 的加法和数乘运算满足如下8条基本性质 关于加法 1 交换律 2 结合律 3 4 关于数乘 5 1 6 k l kl 7 k l k l 8 k k k 第四章线性空间和欧氏空间 4 1向量空间Rn及其子空间 2 设V是Rn的非空子集 且对向量的加法及数乘封闭 即 V k R 有 V k V则称V是一个 实 向量空间 设V是一个向量空间 U V 若U也构成一个向量空间 则称U为V是一个子空间 仅含有零向量 的集合 关于向量的线性运算也构成一个向量空间 我们称之为零空间 Rn和 称为Rn的平凡子空间 第四章线性空间和欧氏空间 4 1向量空间Rn及其子空间 3 设V是一个向量空间 1 2 r是V中一线性无关向量组 并且V中任一向量都能由 1 2 r线性表示 则称 有序 向量组 1 2 r是向量空间V的一组基 r称为V的维数 记为维 V 或dim V 零空间没有基 规定dim 0 由定义 对 V 唯一的一组有序实数k1 k2 kr使得 k1 1 k2 2 kr r 我们把r维向量 k1 k2 kr T称为 在 1 2 r这组基下的坐标 第四章线性空间和欧氏空间 4 1向量空间Rn及其子空间 例1 Rn的基本向量组 构成Rn的一组基 Rn中的任一向量 都能由这组基线性表示 且 在这组基下的坐标就是 本身 这组基称为Rn的自然基 第四章线性空间和欧氏空间 4 1向量空间Rn及其子空间 例2 设A Rm n b Rm b r A b r A r KA x Ax x Rn SB x Ax b x Rn 其中KA是向量空间 称为齐次线性方程组Ax 的解空间 Ax 的一个基础解系就是KA的一组基 因此dim KA n r 但SB不是向量空间 事实上 SB中不含 在R3中 过原点的平面是R3的2维子空间 过原点的直线是R3的1维子空间 而不经过原点的直线与平面都不是向量空间 第四章线性空间和欧氏空间 4 1向量空间Rn及其子空间 4 设 1 2 s Rn 用L 1 2 s 表示 1 2 s的一切线性组合所成的集合 即L 1 2 s k1 1 k2 2 ks s k1 k2 ks R 则L 1 2 s 是 包含 1 2 s 的向量空间中最小的 一个向量空间 我们称之为由 1 2 s生成的子空间 而 1 2 s称为L 1 2 s 生成元 L 1 2 s 的基可以取为 1 2 s的任一极大无关组 第四章线性空间和欧氏空间 4 1向量空间Rn及其子空间 特别地 设矩阵A Rn s A1 A2 As依次为As个列向量 则称L A1 A2 As 为矩阵A的列空间 dim L A1 A2 As 秩 A 因而dim L 1 2 s 秩 1 2 s 求L A1 A2 A3 A4 的一组基和维数 第四章线性空间和欧氏空间 4 1向量空间Rn及其子空间 10 1 2 10 1 11 11 1 解 可见dimL A1 A2 A3 A4 2 A1 A2是L A1 A2 A3 A4 的一组基 注 此外A1 A3也是L A1 A2 A3 A4 的一组基 还有A1 A4 事实上 对于这个例子 除了A3 A4以外 A1 A2 A3 A4中任意两个向量都构成L A1 A2 A3 A4 的一组基 第四章线性空间和欧氏空间 4 1向量空间Rn及其子空间 二 Rn上的坐标变换 1 两组基之间的关系 设 1 2 n及 1 2 n都是Rn的基 j在 1 2 n下的坐标为 c1j c2j cnj T j 1 2 n j在 1 2 n下的坐标为 d1j d2j dnj T j 1 2 n 记A 1 2 n B 1 2 n C cij D dij 则 A B可逆 且B AC A BD 第四章线性空间和欧氏空间 4 1向量空间Rn及其子空间 A B可逆 且B AC A BD 由此可得A BD ACD 因而CD I 我们称C为从基 1 2 n到基 1 2 n的过渡矩阵 易见C A 1B D C 1 B 1A 特别地 从自然基e1 e2 en到基 1 2 n的过渡矩阵为I 1A A 从基 1 2 n到自然基e1 e2 en的过渡矩阵为A 1I A 1 第四章线性空间和欧氏空间 4 1向量空间Rn及其子空间 2 同一个向量在两组级下的坐标之间的关系 设 在基 1 2 n下的坐标为x 在基 1 2 n下的坐标为y 即 Ax By 因此 y Dx x Cy 上述公式称为坐标变换公式 特别地 向量 x1 x2 xn T在基 1 2 n的坐标为A 1 第四章线性空间和欧氏空间 4 1向量空间Rn及其子空间 三 Rn上的线性变换 1 线性映射 设映射f Rn Rm保持线性运算 即满足 Rn k1 k2 R f k1 k2 k1f k2f 或者 与之等价地 保持加法和数乘 即 则称f为一个线性映射 从Rn到Rn自身的线性变换称为Rn的线性变换 Rn k R f f f f k kf 第四章线性空间和欧氏空间 4 1向量空间Rn及其子空间 2 线性映射的矩阵 设A Rm n 则可以定义f Rn Rm如下 f A Rn 可以直接验证f为线性映射 反之 给定线性映射f Rn Rm 取Rn的自然基e1 e2 en Rm的自然基 1 2 m 设f e1 f e2 f en 在 1 2 m下的矩阵为A 即 f e1 f e2 f en 1 2 m A 则A Rm n 且f A Rn 第四章线性空间和欧氏空间 4 1向量空间Rn及其子空间 这就是说每个矩阵A Rm n对应于一个线性映射f Rn Rm 反之 每个线性映射f Rn Rm都对应于一个矩阵A Rm n 特别地 每个方阵A Rn n对应于Rn的一个线性变换f Rn Rn 反之 Rn的每个线性变换都对应于一个方阵A Rn n 此时 线性变换f Rn Rn 作为映射 可逆 A可逆 第四章线性空间和欧氏空间 4 1向量空间Rn及其子空间 3 设f Rn Rm为线性映射 Imf y f x x Rn Kerf x Rn f x 则Imf和Kerf分别为Rn和Rm的子空间 我们称Imf为f的值域 称Kerf为f的核 若f A Rn 其中A Rm n A的列向量依次为A1 A2 An 则Imf Ax x Rn L A1 A2 An Kerf x Rn Ax 即Ax 的解空间 此时 也记Imf R A Kerf K A 第四章线性空间和欧氏空间 4 1向量空间Rn及其子空间 于是 dimR A 秩 A dimK A n 秩 A 由此可得 dimR A dimK A n 此时 也记Imf R A Kerf K A R A 的基可以取为A1 A2 An的一个极大无关组 K A 的基可以取为Ax 的一个基础解系 求R A 和K A 的基和维数 第四章线性空间和欧氏空间 4 2Rn中的度量与正交变换 4 2Rn中的度量与正交变换 一 Rn中向量的内积 长度和夹角 1 设 a1 a2 an T b1 b2 bn T 记为 即 2 内积的基本性质 对称性 线性性 k1 1 k2 2 k1 1 k2 2 0 且 0 第四章线性空间和欧氏空间 4 2Rn中的度量与正交变换 5 长度为1的向量称为单位向量 3 对于n维实向量 称 为 的长度或 模 记为 即 对于非零向量 1 是一个单位向量 用 1乘 称为把 单位化或标准化 4 长度的基本性质 正定性 0 且 0 齐次性 k k k R Cauchy不等式 第四章线性空间和欧氏空间 4 2Rn中的度量与正交变换 6 设 Rn 若 则定义 的夹角 若 0 即 2 则称 与 正交 为 例5 设 Rn 且 与 线性无关 求常数k使 k 与 正交 第四章线性空间和欧氏空间 4 2Rn中的度量与正交变换 二 标准正交基和施密特 Schmidt 方法 1 一组两两正交的向量组称为正交向量组 由单位向量组成的正交向量组称为标准正交向量组 向量空间的一组基如果是正交向量组 就称之为正交基 如果是标准正交向量组 就称之为标准正交基 定理4 1 设 1 2 s是正交向量组 则 1 2 s线性无关 第四章线性空间和欧氏空间 4 2Rn中的度量与正交变换 命题 设 1 2 s是标准正交向量组 且 k1 1 k2 2 ks s 则ki i i 1 2 s 2 施密特 Schmidt 方法 定理4 2 设 1 2 s线性无关 s 2 则存在一个正交向量组 1 2 s满足 1 2 t与 1 2 t等价 1 t s 第四章线性空间和欧氏空间 4 2Rn中的度量与正交变换 1 1 正交化过程如下 再将 1 2 s单位化得 施密特方法 第四章线性空间和欧氏空间 4 2Rn中的度量与正交变换 三 正交矩阵和正交变换 1 满足QTQ I 即Q 1 QT 的实方阵Q称 为正交矩阵 简称为正交阵 定理4 3 设Q为n阶实方阵 则Q是正交矩阵的充分必要条件是Q的列向量组构成Rn的一组标准正交基 推论 设Q为n阶实方阵 则Q是正交矩阵 QT是正交矩阵 Q的行向量组转置后构成成Rn的一组标准正交基 第四章线性空间和欧氏空间 4 2Rn中的度量与正交变换 2 若Q为n阶正交矩阵 则线性变换y Qx称为 Rn的正交变换 定理4 4 Rn的正交变换y Qx不改变向量的内积 因而也不改变向量的长度和夹角 3 由定义可见正交矩阵Q的行列式 Q 1或 1 若 Q 1 则对应的正交变换称为第一类的 若 Q 1 则对应的正交变换称为第二类的 当Q为3阶正交矩阵时 注意到Qi Qj Qk依然正交 且它们的混合积 Qi Qj Qk Q 因此 Q 1 1 时 Qi Qj Qk成右 左 手系 第四章线性空间和欧氏空间 4 2Rn中的度量与正交变换 例6 验证Q 解 QTQ cos sin 是正交矩阵 并 sin cos 计算非零向量 a b T与Q 的夹角 其中0 2 因此Q是正交矩阵 I 第四章线性空间和欧氏空间 4 2Rn中的度量与正交变换 例6 验证Q 解 Q cos sin 是正交矩阵 并 sin cos 计算非零向量 a b T与Q 的夹角 其中0 2 cos Q Q cos Q a2 b2 cos 因而 第四章线性空间和欧氏空间 4 2Rn中的度量与正交变换 O y x 对应的正交变换 第四章线性空间和欧氏空间 4 3线性空间和线性变换 4 3线性空间和线性变换 第四章线性空间和欧氏空间 4 3线性空间和线性变换 第四章线性空间和欧氏空间 4 4欧氏空间和正交变换 4 4欧氏空间和正交变换 第四章线性空间和欧氏空间 4 4欧氏空间和正交变