生产与订购最优决策模型.doc

2010年第七届苏北数学建模联赛A题试题不确定环境下供应链的生产与订购决策问题姓名： 欧燕青 学号： 200805002214 专业；信息与计算科学 姓名： 符建伟 学号： 200805002213 专业：信息与计算科学 姓名： 谭鹏瑶 学号： 200805002237 专业：信息与计算科学 2010 年 5月 29 日摘要本题是一个典型的概率模型。通过有关的概率知识、数分知识、以及利用MATLAB知识对模型进行综合求解。市场需求，生产商的实际生产量是个随机变量。我们无法具体的求出其值。而这两个变量确是本题的关键决策变量。为此我们采用期望的办法来求解。对于问题一：销售商的实际生产量为决策变量，考虑优先级目标函数为销售商的最优利润。通过分析可知，市场的需求量为定值，若销售商订购量大于400，需库存消耗一笔费用，若小于400，则销售商的供应量不足客户需求量，商品需要承担销售缺货成本，于是构造实际产量与计划产量的关系函数，通过概率的方法，求出销售商的最优订购量。对生产商来说他的实际生产量Q与订货量P之间的关系不确定，生产商的实际生产量即为销售商的实际订购量。我们可以构造生产商的实际生产量与计划生产量之间的波动函数关系，并构造最大收益的期望。利用波动函数的分布服从均匀分布，对期望函数中的变量求一阶导，从而估算出计划生产量和订购量的最优值。问题二是对模型一的进一步优化，考虑了市场需求量也是随机的，构造需求量的波动函数，求得其服从均匀分布，根据问题一的方法可求得最优值。问题三的供应链具有两级生产不确定性，产成品的市场需求在一定的前提下构造原产品和产成品生产量的波动函数，两者均服从均匀分布，再根据问题一的求解方法得到最优值。关键词：供应链 生产与订购 随机变量 期望损益转折概率一. 问题重述供应链是一种新的企业组织形态和运营方式,包括从客户需求信息开始经过原材料供应、生产批发销售等环节,到最后把产品送到最终用户的各项制造和商业活动。供应链运作过程中需要应对生产和需求的不确定性。在不确定环境下，研究供应链成员的生产与订购决策问题，具有重要的理论和现实意义。（1）考虑包含一个生产商和一个销售商的供应链，即销售商向生产商订购商品，生产商将商品按批发价格批发给销售商，销售商将商品按销售价格销售给最终顾客。若假设商品的最终需求量是确定的，而生产商生产商品量是不确定的，即由于受到各种随机因素的影响，商品实际产量可能不等于计划产量，呈现随机波动。请建立数学模型，确定销售商的最优订购量和生产商的最优计划产量。根据建立的数学模型，求解以下供应链中销售商的最优订购量和生产商的最优计划产量：单位商品生产成本为20，单位商品库存成本为5，单位商品批发缺货成本（即由于生产商的供应量不足销售商的订购量，而产生的惩罚性成本，比如信誉损失成本）为15，单位商品销售缺货成本（即由于销售商的供应量不足客户的需求量，而产生的惩罚性成本，比如信誉损失成本）为25，单位商品批发价格为40，单位商品销售价格为60，商品市场需求量为400。商品生产量的波动区间为0.85,1.15，即若生产商计划生产量为Q，则产品实际产量的区间为0.85Q,1.15Q.（2）在问题（1）的供应链中，如果商品的市场需求量也是随机的，即市场需求量是一个随机变量，请建立数学模型，确定销售商的最优订购量和生产商的最优计划产量。根据建立的数学模型，求解以下供应链中销售商的最优订购量和生产商的最优计划产量：单位商品生产成本为20，单位商品库存成本为5，单位商品批发缺货成本（即由于生产商的供应量不足销售商的订购量，而产生的惩罚性成本，比如信誉损失成本）为15，单位商品销售缺货成本（即由于销售商的供应量不足客户的需求量，而产生的惩罚性成本，比如信誉损失成本）为25，单位商品批发价格为40，单位商品销售价格为60。商品市场需求量的期望为400，市场需求量的波动区间为0.8,1.2，即实际市场需求量的区间为320,480。商品生产量的波动区间为0.85,1.15，即若生产商计划生产量为Q，则产品实际产量的区间为0.85Q,1.15Q.（3）实际上，大多数供应链具有两级生产不确定性，即原产品（或原材料）生产的不确定性和产成品生产的不确定性，如石油、煤炭、钢铁等供应链中，一级生产商生产原产品(原油、原煤、铁矿石)，二级生产商(炼油厂、洗煤厂、钢铁厂)利用原材料生产成品；又如，在副食品生产中，农民种植农产品，食品生产商利用农产品生产副食品。以上供应链中，一级生产商生产原产品（或原材料），二级生产商向一级生产商订购原产品（或原材料），并通过加工原产品（或原材料）生产产成品，进而销售给最终顾客，两级生产均具有不确定性。若假设产成品的市场需求量是确定的，请建立数学模型，研究在两级生产不确定的供应链中，二级生产商（产成品生产商）的最优订购量和一级生产商（原材料或原产品生产商）的最优计划产量。根据建立的数学模型，求解以下供应链中二级生产商的最优订购量和一级生产商的最优计划产量：单位原产品生产成本为20，单位原产品库存成本为5，单位原产品缺货成本（即由于一级生产商的供应量不足二级生产商的订购量，而产生的惩罚性成本，比如信誉损失成本）为15，单位产成品生产加工成本为10，单位产成品库存成本为7，单位产成品缺货成本（即由于二级生产商的供应量不足市场的需求量，而产生的惩罚性成本，比如信誉损失成本）为30，二级生产商投入单位原产品产出产成品数量为0.7（比如煤炭供应链中，洗煤厂入洗1吨原煤，产出0.7吨精煤），原产品价格为40，产成品价格为95，产成品市场需求量为280。原产品生产量的波动区间为0.85,1.15，产成品生产量的波动区间为0.9,1.1.在两级生产不确定的供应链中，如果产成品的市场需求量也是一个随机变量，如何改进你所建立的数学模型，确定二级生产商的最优订购量和一级生产商的最优计划产量？二基本假设 只有一个制造商和一个销售商； 制造商有足够的能力满足销售商的需求； 销售商的初始库存为零； 忽略交易费用、运输成本等中间费用； 产品的生产和批发都不要求分批，都是一次性处理完；三变量声明P; 销售商的实际订货量：销售商的最优订购量a；单位商品的零售价格b；单位商品的批发价格c；单位商品的成本；单位商品零售的缺货成本；单位商品的库存成本 ；单位商品的批发缺货成本D ；市场的需求量：商品市场需求量的期望值Q ；计划生产量；实际生产量：最优生产量问题3增加的变量： ：单位产成品的销售价格； : 产成品的总量； ：单位产成品的加工成本； ：单位原产品的销售价格； ：产成品的市场需求量；四模型的建立与求解问题1：假设销售商的实际订货量为P。市场需求量为400，若P400,则销售需要承担未卖出去的产品的成本费40.，若PP，实际生产量大于订购量生产商损失；，也就是说，当，生产商遭受的期望过剩损失：综合起来生产商总的期望损失为：C（P）是离散的变量。我们可以采取边际分析法来去造成损失最小也就是盈利最大的所谓订购量，分析步骤如下：记，N=，N被称为损益转折概率现在我们来分析一下。显然，是关于P的单调递增函数，由于与同号。所以也是关于P的单调递增函数。由此我们可以知，随着P增大，从最少值开始单调递增到最大值。也就是说先下降到某最小值在逐渐增大，取到最小值也就是从负值变到正值的那个P值。设为P*。当P=P*时 ， ，P*应满足即：所以P*可以由下面的关系式确定即：代入数据，N=0.625再根据，在P的区间两侧分别取五个值，依次代入到目标函数中，求出各个点的函数值（见表格 1），然后根据拟合解曲线的方法在MATLAB的环境中，求解出I与的关系曲线（见图表 1）：通过分析可得：当订购量P=400 时，8000 为最优化值表格 1P(订购量)390392394396398400755076407730782079108000P(订购量)40240440640841079107820773074607550I=390:2:410;y=7550 7640 7730 7820 7910 8000 7910 7820 7730 7640 7550;A=polyfit(P,y,2)z=polyval(A,P);plot(I,y,*,P,z,r)我们可以得到最优订购量=400。最大利润8000再根据，代入数据，N=0.625得=406问题2：该模型考虑了市场需求量的随机波动性。，已知市场需求量的期望是400，需求量的波动区间为0.85，1.15，商品生产量的波动区间为0.85,1.15，在价格不变的前提下，分析销售商的最优订购量。假设变量为市场需求量的波动系数，商品的市场需求量=，并且服从的分布函数。并是商品的实际生产量的波动系数，商品的实际生产量，且服从的分布函数。由此可以列出销售商的利润函数为： 销售商的最优利润函数为： 那么， 对生产商来说他的实际生产量与订货量P之间的关系不确定，生产商的实际生产量即为销售商的实际订购量。生产商的利润函数为： 生产商的最优利润函数为： 销售商的最优订购量的求解分析：已知单位产品的销售价格 a=60；商品的市场需求量的期望=400；单位商品的批发价格b=20；单位商品库存成本；单位商品零售缺货成本；根据相关资料可得服从均匀分布，它的值为5/2 ；将以上数据代入到式整理可得：对中的求一阶导可得：令一阶导为0，可得；综上可知，销售商的最优订购量为P=400。生产商的最优计划生产量的求解分析：已知单位商品的批发价=40；单位商品的生产成本c=20；销售商的实际订购量P=400；将以上数据代入模型中的式整理可得：根据相关资料可得服从均匀分布，它的值为10/3,并对中的求一阶导得： 令上式为0，解得5 ；又因为取整，不妨将=, =分别代入到（4）式，经比较可得当时，生产商的利润达到最优值，故生产商的最优计划产量为Q=406.问题3：在实际生产中，大多数供应量之间具有两级生产不确定性，在这种供应链中，一级生产商生产原产品，二级生产商则订购他的原产品，并将原产品加工成产品，进而销售给顾客。在该模型中，首先假设产成品的市场需求量D是确定的。我们知道原产品的波动区间为0.85,1,15,产成品生产量的波动区间为0.9,1.1,于是我们可以建立模型：假设是商品的实际生产量的波动系数，一级生产商的利润函数： （bc）*（P）*; （） b*P; ()一级生产商的最优利润函数： 设二级产成品的生产量的波动系数为，设产成品销售价格为,单位产成品加工成本为；单位原产品库存成本为；单位产成品缺货成本为；则得到：二级生产商的利润函数： ; = ; ()二级生产商的最优利润函数： =+ 问题求解：由以知得 =95，；将他们上式化简得：；根据相关资料可得服从均匀分布，它的值可由概率论知识求得：1/(0.1-(-0.1)=5,于是对中的P求一阶导得： 2.7*107/P2-45.309 令一阶导为0,解得;又因为P取整，不妨将P=412，P=413 分别代入到上式，经比较可得当P=413时，二级生产商的利润达到最优值，故二级生产商的最优订购量P=413.一级生产商的最优计划生产：已知原产品的单位成本是=20；一级生产商的计划生产量与模型二中生产商的计划生产量的求解一样，同理服从均匀分布，它的值同样可求得为1/(0.15-(-0.15)=10/3,并对中的求一阶导得： 令上式为0，在已知二级生产商的订购量的情况下可解得 ；又因为取整，不妨将=, =分别