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一元函数求极限的若干方法（陕西师范大学 数学系，陕西 ）摘 要：极限是数学分析中最基本的，也是最重要的概念之一，是研究微积分学的重要工具.因此掌握好极限的思想与方法是学好微积分的前提条件，针对这种情况，本文探讨了一些常用的求极限的方法关键词：极限；方法 大家知道，极限是数学分析中最基本、也是最重要的概念之一，数学分析中许多深层次的理论及应用都是极限的拓展和延伸，如：连续、导数、微积分等都是由极限定义的，而离开了极限思想的数学分析就失去了其基础与价值，因此极限运算在数学分析中占有举足轻重的地位.由于极限定义的高度抽象使我们很难用极限本身的定义去求极限，而对极限的求法可谓是多种多样，针对这种情况，通过归纳和总结，罗列出一些常用的求法.1 利用极限的定义求极限 极限是指无穷的趋于一个固定的数值，数学分析中的极限包括：数列极限和函数极限.1.1 数列极限的定义 设是一个数列,是定数,如果对任意给定的,总存在正整数，使得当时有,我们就称定数是数列的极限.记为 或 . 例1 按定义证明，这里是常数.证 由于，故对任给的,只要取，则当时，便有 即.这就证明了 .例2证明分析 由于 （1）因此，对任给的，只要，便有 （2）即当时，（2）式成立又由于（1）式是在的条件下成立的，故应取 （3） 证 任给，取据分析，当nN时有（2）式成立于是本题得证 注 本例在求N的过程中，（1）式中运用了适当放大的方法，这样求N就比较方便但应注意这种放大必须“适当” ，以根据给定的能确定出N又（3）式给出的N不一定是正整数一般地，在定义1中N不一定限于正整数，而只要它是正数即可1.2 函数极限的定义 函数极限的定义包括两个，一个是趋于时函数的极限，另一个是趋于时函数的极限.1.2.1 趋于时函数的极限 设为定义在上的函数,为定数.若对任给的，存在正数，使得当时有，则称函数当趋于时以为极限，记为 或 .1.2.2 趋于时函数的极限 设函数在点的某个空心邻域内有定义，为定数.若对任给的，存在正数，使得当时有，则称函数当趋于时以为极限，记为 或 . 例3 证明 . 证 任给,取,则当时有,所以. 例4 设,证明. 证 由于当时,故对给定的,只要取,根据题意当时有.这就证明了.注 用极限的定义时，只需证明存在 ,故求解的关键在于不等式的建立，在建立过程中往往采用放大或缩小等技巧但是不能把含有的因子移到不等式的另一边再放大，而是直接应该对要证其极限的式子一步步放大，有时还需要加入一些限制条件限制条件必须和所求的一致，最后结合在一起考虑2 利用极限的四则运算法则求极限 对和、差、积、商形式的函数求极限，自然会想到极限的四则运算法则.法则本身很简单，但为了能够使用法则，往往需要先对函数做一些必要的恒等变形或化简，那么采用怎样的变形和化简要根据具体的算式决定，常用的方法有：分式的约分或通分，分式的分解，分子或分母的有理化，三角函数的恒等变形，某些求和或求积公式的恰当变量替换等等.2.1 直接运用函数极限的四则运算法则求极限直接运用函数极限的四则运算法则求极限时，前提必须是式子中的每个函数都有极限且分母的极限不等于0.定理 若极限都存在，则函数 例5 求极限：. 解 .例6 (这种解法是错误的，因为不存在，因此不能写成.)2.2 间接运用函数极限的四则运算法则求极限.间接利用该法则求极限，即分母的极限等于零或分子、分母的极限为时则不能运用该法则.此时可采用下列方法求解.2.2.1 消零因子法 对于有理分式可将分子、分母分解因式，消去公因式后再求解.例7 求极限 .解 .2.2.2 无穷大分除法 当时，分子分母的极限为无穷大，可用分母的最高次幂去除分子分母再取极限. 例8 解 根据题意 此类型的题可总结为 以后直接利用该公式即可.3 利用柯西准则求极限定理 设函数在内有定义. 存在的充要条件是对于任意的，存在正数，使得对于任何有下面证明 不存在。证明 取，对任何，设正整数，令，则，从而.由柯西准则可知不存在。4 利用两个重要极限求极限 . 只要符合上述两个重要极限的形式的函数极限都可以尝试使用此方法. 例9 例10 求极限.【说明】 第二个重要极限主要搞清楚凑的步骤：先凑出1，再凑出，最后凑指数部分.解 .5 利用无穷小的性质求极限注 1 两个（相同类型的）无穷小量之和差积仍为无穷小量 2无穷小量与有界量的乘积为无穷小量例11 (这两个极限一定要区分开).6 利用等价无穷小量代换求极限若，例12 求 极限解 由于注 在利用等价无穷小量代换求极限时，应注意：只有对所求极限式中相乘或相除的因式才能用等价无穷小量来替代，而对极限式中的相加或相减部分则不能随意替代。5 利用夹逼准则求极限 夹逼准则 若且,则：. 当极限不易直接求出时, 可考虑将求极限的变量作适当的放大和缩小, 使放大与缩小所得的新变量易于求极限, 且二者的极限值相同, 则原极限存在,且等于公共值.特别是当在连加或连乘的极限里,可通过各项或各因子的放大与缩小来获得所需的不等式. 例13 求的极限. 解 对任意正整数,显然有 .而 。由夹逼准则得 .6 利用函数的连续性求极限 利用函数的连续性求极限；如函数在点连续，则，而初等函数在其定义域又是连续的，所以在通常情况下只需把带入函数中，若所得结果是有意义的则此结果就是极限值，因此此方法也简单的称为直接带入法. 例14 求极限. 分析 因为函数在处连续，所以上式的极限等于把代入原函数即可.解 原式 (其特点是可以直接代入，因为分母的极限不为0，所以当直接代入分母的极限不为0时就用直接代入法).例15 求极限解 由于属于初等函数的定义域之内，故由得连续性得7 利用洛比达法则求极限 7.1 型不定式极限 【定理1】 若函数和满足： ； 在点的某空心邻域内两者都可导，且； (可为实数，也可为或），则 . (将定理1中换成，只要相应的修正中的邻域也可得到同样的结论.)此处需注意该定理满足充分性，必要性不满足，即不存在时不能说明不存在.7.2 型不定式极限 【定理2】 若函数和满足： ； 在点的某右邻域内两者都可导，且； (可为实数，也可为或），则. (将定理2中换成，只要相应的修正中的邻域也可得到同样的结论.) 定理1和定理2是洛必达法则的内容.7.3 ，等其他类型不定式极限 不定式极限还有，等类型，经过简单变化，它们一般均可化为或的极限。然后判断是否满足洛必达法则的条件求解.（对于，不定式，先取对数，再利用洛必达法则求之）. . 最后三种幂指型不定式，可先取对数化为中间的型，再取倒数化为基本型，事实上. . 例16 求.分析 与在点的邻域内满足定理1的条件，故可应用洛必达法则.解 根据洛必达法则有 . 在上题中，如果仍是型不定式极限，只要有可能，我们可再次使用洛必达法则，即考察极限是否存在，当然此时和在的某邻域内必须满足定理1的条件. 例17 求.分析 和在点的邻域内满足定理2的条件，故可应用洛必达法则. 解 根据洛必达法则有 . 注 不能对任何不定式极限都按洛必达法则求解，首先必须注意它是不是不定式极限，其次是否满足洛必达法则的其他条件.例18 虽然是型,但若不顾条件随便使用洛必达法则,就会因右式的极限不存在而推出原极限不存在的错误结论.例19 求. 分析 根据题意可知这是一个型不定式极限，此类题一般先求其对数极限，即，其指数部分的极限是型不定式极限，可以先求得从而得到 . 综上洛必达法则是求不定式极限的一种有效方法但它不是万能的如果对洛必达法则使用不当会导致计算出错在使用洛必达法则求极限时需注意以下几点 有或型不定式才能直接使用洛必达法则，其它不定式需转换成或型不定式后才能使用洛必达法则. 应用洛必达法则时，必须对分子、分母分别同时求导而不是对整个表达式求导. 当导数极限不存在时，原极限不一定不存在，此时洛必达法则失效，应另找方法求极限. 只要符合条件，洛必达法则可多次使用. 洛必达法则并不一定是计算不定式的最简方法，有时洛必达法则与其它方法综合起来使用效果更佳，洛必达法则在极限理论中有着重要意义，在应用时一定要注意法则的使用条件，这样才能避免出错.8 利用单调有界原理求极限 单调有界原理 单调有界数列必有极限.例20 已知数列 其中实数，证明数列有极限，并求其极限.证 显然是递增的，下证是有界的.由于而 故由单调有界定理 收敛且. 注 此种方法主要用于数列求极限.9 利用函数在某点的左右极限求极限 此方法只适用于解析式中带有绝对值的函数或是分段函数。首先考虑分段点处的左右极限，如果左右极限存在且相等，则函数在分界点处的极限存在，否则不存在。 例21 已知函数 求 解 因为 根据极限存在的充要条件可知 .10 利用泰勒公式求极限 对于一般函数,设它在点存在直到阶的导数.由这些导数构造成一个次多项式，称为函数在点处的泰勒多项式，的各项系数称为泰勒系数 对于一般函数,设它在点存在直到阶的导数，则有,即 . 11式称为函数在点处的泰勒公式，称为泰勒公式的余项，形如的余项称为佩亚诺型余项。 当泰勒公式1在时的特殊情况：，它也称为带有佩亚诺型余项的麦克劳林公式 注 应用泰勒公式求解可以使原来函数的极限转化为多项式有理式的极限，可以简化题目，使原极限很容易求出. 例22 求极限. 解 本题可用洛必达法则求解（较繁琐），在这里可应用泰勒公式求解，考虑到极限式的分母为,我们用麦克劳林公式表示极限的分子 因而求得 .结束语 上述方法是在数学分析里求解极限的重要方法.在做求解极限题时，除了掌握以上方法外还必须了解应用该方法时满足的条件，必须要仔细分析，选择出适当的方法.这样不仅提高解题效率，而且会省去许多不必要的麻烦，起到事半功倍的效果.在求极限时我们应具体问题具体分析，不能机械地用某种方法，要对题目进行观察，有时解题可多种方法混合使用，要学会灵活运用.参考文献:1候风波.高等数学 第二版M.高等教育出版社，2003.10；2刘小军.高等数学解题方法.云南广播电视大学理工学院学报第12页.2006.08；3叶伯诚.高等代数.青岛海洋大学大学出版社，2005；4陈璋.朱学炎等.数学分析 M.复旦大学数学系.高等教育出版社，2006；5郝涌.卢士堂等.数学考研精解.华中理工大学出版社，2004.The method and skill of limit WEI Na- di(Department of Mathematics, Baoji University of Arts and Sciences, Baoji 721013, Shaanxi, China) Abstract: The limit is one of the most basic mathematical analysis, also is one of the most important concept, is an important tool to stu