机械工程控制理论基础

机械工程控制理论基础 张克仁教授 目录 第一章自动控制系统的基本原理第一节控制系统的工作原理和基本要求第二节控制系统的基本类型第三节典型控制信号第四节控制理论的内容和方法 第二章控制系统的数学模型第一节机械系统的数学模型第二节液压系统的数学模型第三节电气系统的数学模型第四节线性控制系统的卷积关系式 第三章拉氏变换第一节傅氏变换第二节拉普拉斯变换第三节拉普拉斯变换的基本定理第四节拉普拉斯逆变换 第四章传递函数第一节传递函数的概念与性质第二节线性控制系统的典型环节第三节系统框图及其运算第四节多变量系统的传递函数 第五章时间响应分析第一节概述第二节单位脉冲输入的时间响应第三节单位阶跃输入的时间响应第四节高阶系统时间响应 第六章频率响应分析第一节谐和输入系统的定态响应第二节频率特性极坐标图第三节频率特性的对数坐标图第四节由频率特性的实验曲线求系统传递函数 第七章控制系统的稳定性第一节稳定性概念第二节劳斯判据第三节乃奎斯特判据第四节对数坐标图的稳定性判据 第八章控制系统的偏差第一节控制系统的偏差概念第二节输入引起的定态偏差第三节输入引起的动态偏差 第九章控制系统的设计和校正第一节综述第二节希望对数幅频特性曲线的绘制第三节校正方法与校正环节第四节控制系统的增益调整第五节控制系统的串联校正第六节控制系统的局部反馈校正第七节控制系统的顺馈校正 第一章自动控制系统的基本原理 定义 在没有人的直接参与下 利用控制器使控制对象的某一物理量准确地按照预期的规律运行 第一节控制系统的工作原理和基本要求控制系统举例与结构方框图 例1 一个人工控制的恒温箱 希望的炉水温度为100C 利用表示函数功能的方块 信号线 画出结构方块图 图1 人通过眼睛观察温度计来获得炉内实际温度 通过大脑分析 比较 利用手和锹上煤炭助燃 图2 例2 图示为液面高度控制系统原理图 试画出控制系统方块图和相应的人工操纵的液面控制系统方块图 解 浮子作为液面高度的反馈物 自动控制器通过比较实际的液面高度与希望的液面高度 调解气动阀门的开合度 对误差进行修正 可保持液面高度稳定 图3 图4 图5 结构方块图说明 1 信号线 带有箭头的直线 可标时间或象函数 U t U s 2 引用线 表示信号引出或测量的位置 3 比较点 对两个以上的同性质信号的加减运算环节 4 方框 代表系统中的元件或环节 方块图中要注明元件或环节的名称 函数框图要写明函数表达式 二 控制系统的组成1 给定环节 给出输入信号 确定被控制量的目标值 2 比较环节 将控制信号与反馈信号进行比较 得出偏差值 3 放大环节 将偏差信号放大并进行必要的能量转换 4 执行环节 各种各类 5 被控对象 机器 设备 过程 6 测量环节 测量被控信号并产生反馈信号 7 校正环节 改善性能的特定环节 三 控制系统特点与要求1 目的 使被控对象的某一或某些物理量按预期的规律变化 2 过程 即 测量 对比 补偿 或 检测偏差 纠正偏差 3 基本要求 稳定性系统必须是稳定的 不能震荡 快速性接近目标的快慢程度 过渡过程要小 准确性 第二节控制系统的基本类型1 开环变量控制系统 仅有前向通道 图6 1 2 闭环变量控制系统图6 2 开环系统优点 结构简单 稳定性能好 缺点 不能纠偏 精度低 闭环系统 与上相反 第三节典型控制信号输入信号是多种多样的 为了对各种控制系统的性能进行统一的评价 通常选定几种外作用形式作为典型外作用信号 并提出统一的性能指标 作为评价标准 1 阶跃信号x t 0t 0 x t At 0 图7当A 1时 称为单位阶跃信号 写为1 t 阶跃信号是一种对系统工作最不利的外作用形式 例如 电源突然跳动 负载突然增加等 因此 在研究过渡过程性能时通常都选择阶跃函数为典型外作用 相应的过渡过程称为阶跃响应 2 脉冲函数数学表达式x t A T0 t Tx t 0其它图8 脉冲函数的强度为A 即图形面积 单位脉冲函数 函数 定义为 t 1 t 性质有 t 0t 0 t t 0且 图9强度为A的脉冲函数x t 也可写为x t A t 必须指出 脉冲函数 t 在现实中是不存在的 它只有数学上的意义 但它又是很重要的很有效的数学工具 3 斜坡函数 恒速信号 x t Att 0 x t 0t 0图10在研究飞机系统时 常用恒速信号作为外作用来评价过渡过程 4 恒加速信号x t At2 2t 0 x t 0t 0图11在研究卫星 航天技术的系统时 常用恒加速信号作为外作用来评价过渡过程 5 正弦函数 谐波函数 谐和信号 x t xmsin t t 0 x t 0t 0图12 6 延时函数 信号 f t x t t f t 0t 0图13 7 随机信号 使用白噪声信号代替 第四节控制理论的研究内容和方法一 经典控制理论1 主要内容 分析 掌握系统的特性 进行系统性能的改善 实验 对系统特性和改善措施进行测试 综合 按照给定的静态 动态指标设计系统 2 方法时域法 以典型信号输入 分析输出量随时间变化的情况 频域法 以谐和信号输入 分析输出量随频率变化的情况 根轨迹法 根据系统的特征方程式的根 随系统参数的变化规律来研究系统 又称图解法 二 现代控制理论1 引入状态空间概念 2 动态最佳控制 3 静态最优控制 4 自适应和自学习系统 图14瓦特调速器 第二章控制系统的数学模型 为了确定控制系统内部各物理量之间定量关系 必须建立数学模型 这一章中心问题是如何从控制系统实体中抽象出数学模型 第一节机械系统的数学模型1 机械平移系统 应用牛顿定律 F 0 F mF t c kx m或F t Fc t Fk t mFc t 阻尼器产生的阻尼力 为c t Fk t 弹性恢复力 为kx t 整理 m c kx F t 2 机械旋转系统J t c t k t M t J 转动惯量c 阻尼系数K 刚度系数 图14 图15 3 机械传动系统参数的归算机械系统的运动形式 旋转运动 直线运动 机械系统的组成元件 齿轮 轴 轴承 丝杠 螺母 滑块等 对一个复杂的大系统 必须把各部件参数归算到同一部件上 在这个部件的惯性力 阻尼力 弹性恢复力称为当量参数 如何归算 采用单因素法 3 1惯性参数的归算1 转动惯量的归算将图示系统中的J1 J2和J3归算到a轴上 图16 列各轴力矩平衡方程式 a轴 M J1 Mb ab轴 Ma b J2 Mc bc轴 Mb c J3Mb a 负载力矩 Ma b 是b轴的主动 驱动 力矩 列关系式 同理力相等关系由线速度相等关系 1 2得 同理 代入各关系式 得M t M J1 J2 2 J3 2 Ja Ja 称为归算到a轴上的归算转动惯量 推之 对于系统有n个轴 归算到a轴时 Ja Ui 是从a轴到第i轴的总速比 即主动齿轮齿数积 被动齿轮齿数积 2 移动质量归算为转动惯量列运动平衡方程式丝杠 M J M1滑块 F m F轴式中 M1是滑块作用于丝杠的力矩 F轴是丝杠作用于滑块的轴向力 为求M与F之间的关系 列关系式 把丝杠按 D展成平面 tg F周 F轴 S D 由关系式F周 M1 则F轴 F 根据运动关系 代入到M J M1中 整理后得M J m 2 J J J m 2 图17 图18 第二节液压系统的数学模型分析思路 见图19 划分为两个环节 滑阀 输入量xi t 输出量 t 中间变量 液压缸 输入量 t 输出量xo t 建立各元件方程式 图19 1 滑阀流量方程式 t f xi t 其中 压强差流量 t 是阀芯位移xi t 函数 同时又是负载压强差的函数 具有非线性关系 如果把非线性问题线性化 这是考虑在额定工作点附近可展成泰勒级数办法 则 t kqxi t kp 1 其中kq是流量增益系数 kp是压力影响系数 1 式是根据试验数据修正而来 2 液压缸工作腔液体流动连续方程式 t Ao t kt 2 A 工作面积 kt 漏损系数 V 液体体积压缩率 弹性模量 在不考虑液体的的可压缩性 又不考虑泄漏 2 式可简化为 t Ao t 3 3 液压缸负载平衡方程式A mo t co t kxo t F t 4 若自由状态 即F t 0 则A mo t co t kxo t 5 4 系统的运动方程式消去中间变量和 t 得mo t co t k A2 t Akqxi t kp 6 若外部系统阻尼 刚度系数不受影响 即c 0 k 0 惯性力不考虑 则kqxi t Axo t 7 这是来多少油出多少油的关系式 第三节电气系统的数学模型1 阻容感网络系统图20 由基尔霍夫第一定律 封闭系统 Ui t UR t Uc t UL t 0Ui t Ri t L 0 L R 二阶微分方程 2 放大器网络系统图21 1 比例运算放大器由ij t 0i1 t i2 t i3 t 因为放大器内阻很大 i3 t 0 于是有i1 t i2 t 即 i1 t i2 t 引入 Uo t UA 104 106 UA由于 很大 UA0 U0 t 1 UA t Ui t 2 积分运算放大器图22 同前分析过程 i1 t U0 t 由i1 t i2 t 而来输出与输入之间存在积分关系 3 微分运算放大器图23 由Ui t 得i1 t ci2 t 由i1 t i2 t 关系式 得U0 t R2C输出与输入之间存在微分关系 第四节线性控制系统的卷积关系式为建立输出与输入之间的关系 常利用卷积关系式 一 线性控制系统的权函数图24 设图示系统 任意给输入量xi t 输出量为xo t 当xi t t 即为单位脉冲函数 此时的输出 也称为响应 xo t 记为h t h t 称为系统的单位脉冲响应或称为权函数 若输入脉冲发生在 时刻 则 t 和h t 曲线都会向右移动 形状不变 图25 1 即xi t t1 对应的xo t h t1 其中t1 t 定义 t t t t 0其它这里 t t t t 二 任意输入响应的卷积关系式当xi t 为任意函数时 可划分为n个具有强度Aj的脉冲函数的叠加 即图25 2 图25 3 Xi t 其中Aj xi j t t 面积 强度在某一个脉冲函数Aj t j t 作用下 响应为Ajh t j t 系统有n个脉冲函数 则响应为 xo t 当n时 n t j t t d xo t 卷积关系式上式说明 任意输入xi t 所引起的输出xo t 等于系统的权函数h t 和输入xi t 的卷积 三 卷积的概念与性质定义 若已知函数f t 和g t 其积分存在 则称此积分为f t 和g t 的卷积 记作 性质 1 交换律 证明 令t t1d dt1 t t1 左 右 变量可代换 证毕 2 分配律3 若t 0时 f t g t 0 则 f t 输入 g t 系统 x0 t 输出x0 t 四 卷积积分的图解计算积分上下限的确定 下限取f 和g t 值中最大一个 上限取f 和g t 值中最小一个 要进行卷积计算 一是真实含义不清 二是难以确定积分上下限 现用图解方法说明 设f t 和g t 如图所示 求f t g t f t 1 t g t e t解 f t g t g 是g 关于纵轴的镜像g t 是g 在横轴上平移一个t值 其形状不变 相乘隐条形区域才是的积分值 积分下限是0 上限是t 则本例中 f 和g t 的下限为 0 取0 f 和g t 的上限为 t 取t 第三章拉普拉斯变换 第一节傅氏变换 傅立叶变换 一 傅氏级数的复指数形式 对周期函数而言 略讲 二 非周期函数的傅氏积分非周期函数f t 可以看作是T周期函数fT t 即F t 若f t 在上满足 1 在任一有限区间上满足狄氏条件 1 连续或只有有限个第一类间断点 2 只有有限个极值点 2 在上绝对可积 收敛 f t 非周期函数的积分式 三 傅氏变换1 傅氏变换概念在傅氏积分式中 令t是积分变量 积分后是 的函数 称F F f t 傅氏变换f t F 1 F 傅氏逆变换2 傅氏变换的缺点说明1 条件较强 要求f t 绝对收敛 做不到 例如 1 t Asin t 它们的积分均发散 即F f t 不存在 无法进行傅氏变换 2 要求f t 在有意义 而在实际中 t 0常不定义 解决的办法 1 将f t 乘以收敛因子e t使积分收敛 0 2 将f t 乘以1 t 使当t 0时 函数值为零 可将积分区间由换成 于是傅氏变换变形为拉氏变换L f t L f t 其中S 复变量 成立的条件是Re s 0经过处理 能解决大部分工程上的问题 这就是Laplace变换 F L Z H W X 第三节拉普拉斯变换 Laplace 定义 1 若t 0时 x t 单值 t0则称X s 为x t 的拉氏变换式 记作X s L x t X t L 1 X s 拉氏逆变换 举例1 脉冲函数 t 的拉氏变换L t 12 单位阶跃函数x t 1 t 1的拉氏变换X s L 1 t Re s 0即 03 x t 常数 L Re s 0即 4 x t sin t 常数 L sin t Re s 0 5 X t tn幂函数的拉氏变换利用伽玛函数方法求积分 L tn 函数标准形式令st u t tn s nundt du 则 若n为自然数 X s L tn Re s 0 比