第一篇_第五节分析法、综合法与反证法

第五节分析法 综合法与反证法 1 直接证明 推理论证 成立 证明的结论 充分条件 2 间接证明反证法 假设原命题 即在原命题的条件下 结论不成立 经过正确的推理 最后得出 因此说明假设错误 从而证明了原命题成立 这样的证明方法叫反证法 不成立 矛盾 答案 C 2 否定 自然数a b c中恰有一个偶数 时 正确的反设为 A a b c都是奇数B a b c都是偶数C a b c中至少有两个偶数D a b c中至少有两个偶数或都是奇数 解析 a b c恰有一个是偶数 即a b c中只有一个偶数 其反面是两个或两个以上偶数或没有一个偶数即全都是奇数 故只有D正确 答案 D 3 2008年日照模拟 若a b c是不全相等的正数 给出下列判断 a b 2 b c 2 c a 2 0 a b与a b及a b中至少有一个成立 a c b c a b不能同时成立 其中判断正确的个数是 A 0B 1C 2D 3 解析 正确 中 a c b c a b可能同时成立 如a 1 b 2 c 3 答案 C 答案 x y 答案 24 综合法证明不等式 已知x y z 1 求证 x2 y2 z2 思路点拨 利用a2 b2 2ab 同时变形利用x y z 1 从而 x y z 2 1可证 自主探究 x2 y2 2xy x2 z2 2xz y2 z2 2yz 2x2 2y2 2z2 2xy 2xz 2yz 3x2 3y2 3z2 x2 y2 z2 2xy 2xz 2yz 3 x2 y2 z2 x y z 2 1 x2 y2 z2 方法点评 1 综合法是 由因导果 它是从已知条件出发 顺着推证 经过一系列的中间推理 最后导出所证结论的真实性 用综合法证明题的逻辑关系是 A B1 B2 Bn B A为已知条件或数学定义 定理 公理等 B为要证结论 它的常见书面表达是 或 2 综合法是中学数学证明中常用方法 其逻辑依据是三段论式的演绎推理方法 分析法 已知非零向量a b 且a b 求证 思路点拨 a b a b 0 同时注意 a2 a 2 将要证式子变形平方即可获证 自主探究 a b a b 0要证只需证 a b a b 只需证 a 2 2 a b b 2 2 a2 2a b b2 只需证 a 2 2 a b b 2 2a2 2b2 只需证 a 2 b 2 2 a b 0 即 a b 2 0 上式显然成立 故原不等式得证 方法点评 1 分析法也是中学数学证明问题的常用方法 其主要过程是从结论出发 逐步寻求使结论成立的充分条件 2 分析法是 执果索因 它是从要证的结论出发 倒着分析 逐渐地靠近已知事实 用分析法证 若P则Q 这个命题的模式是 为了证明命题Q为真 这只需证明命题P1为真 从而有 这只需证明命题P2为真 从而有 这只需证明命题P为真 而已知P为真 故Q必为真 特别提醒 用分析法证题时 一定要严格按格式书写 否则容易出错 2 已知a 0 b 0 且a b 1 试用分析法证明不等式 反证法 已知a b c是互不相等的实数 求证 由y ax2 2bx c y bx2 2cx a和y cx2 2ax b确定的三条抛物线至少有一条与x轴有两个不同的交点 思路点拨 利用反证法 自主探究 假设题设中的函数确定的三条抛物线都不与x轴有两个不同的交点 即任何一条抛物线与x轴没有两个不同的交点 由y ax2 2bx c y bx2 2cx a y cx2 2ax b 得 1 2b 2 4ac 0 2 2c 2 4ab 0 3 2a 2 4bc 0 同向不等式求和得 4b2 4c2 4a2 4ac 4ab 4bc 0 2a2 2b2 2c2 2ab 2bc 2ca 0 a b 2 b c 2 c a 2 0 a b c 这与题设a b c互不相等矛盾 因此假设不成立 从而命题得证 方法点评 1 反证法是间接证明问题的一种常用方法 其证明问题的一般步骤为 1 反设 假定所要证的结论不成立 而设结论的反面 否定命题 成立 否定结论 2 归谬 将 反设 作为条件 由此出发经过正确的推理 导出矛盾 与已知条件 已知的公理 定义 定理及明显的事实矛盾或自相矛盾 推导矛盾 3 结论 因为推理正确 所以产生矛盾的原因在于 反设 的谬误 既然结论的反面不成立 从而肯定了结论成立 结论成立 2 用反证法证明问题时要注意以下三点 1 必须先否定结论 即肯定结论的反面 当结论的反面呈现多样性时 必须罗列出各种可能结论 缺少任何一种可能 反证都是不完全的 2 反证法必须从否定结论进行推理 即应把结论的反面作为条件 且必须根据这一条件进行推证 否则 仅否定结论 不从结论的反面出发进行推理 就不是反证法 3 推导出的矛盾可能多种多样 有的与已知矛盾 有的与假设矛盾 有的与事实矛盾等 推导出的矛盾必须是明显的 3 常见的 结论词 与 反设词 如下 3 若x y都是正实数 且x y 2 1 2009年辽宁高考 如图 已知两个正方形ABCD和DCEF不在同一平面内 M N分别为AB DF的中点 1 若CD 2 平面ABCD 平面DCEF 求MN的长 2 用反证法证明 直线ME与BN是两条异面直线 解析 1 取CD的中点G 连接MG NG 2 假设直线ME与BN共面 则AB 平面MBEN 且平面MBEN与平面DCEF交于EN 由已知 两正方形ABCD和DCEF不共面 故AB 平面DCEF 又AB CD 所以AB 平面DCEF 而EN为平面MBEN与平面DCEF的交线 所以AB EN 又AB CD EF 所以EN EF 这与EN EF E矛盾 故假设不成立 所以ME与BN不共面 它们是异面直线 2 2009年重庆高考 已知a1 1 a2 4 an 2 4an 1 an bn n N 1 求b1 b2 b3的值 2 设cn bnbn 1 Sn为数列 cn 的前n项和 求证 Sn 17n 3 求证 b2n bn 1 综合法的特点是 从已知看可知 逐步推出未知 2 分析法的特点是 从未知看需知 逐步靠拢已知 3 分析法和综合法各有优缺点 分析法思考起来比较自然 容易寻找到解题的思路和方法 缺点是思路逆行 叙述较繁 综合法从条件推出结论 较简捷地解决问题 但不便于思考 实际证题时常常两法兼用