第一篇_第四节归纳类比与数学证明

第四节归纳类比与数学证明 1 n条直线两两相交共有f n 个交点 则n 1条直线最多比f n 多多少个交点 A n 1个B n个C n 1个D n 2个 解析 第n 1条直线分别与前n条直线相交时最多有n个交点 故选B 答案 B 2 下面几种推理是合情推理的是 由圆的性质类比出球的有关性质 由直角三角形 等腰三角形 等边三角形的内角和是180 归纳出所有三角形的内角和都是180 张军某次考试成绩是100分 由此推出全班同学的成绩都是100分 三角形内角和是180 四边形内角和是360 五边形内角和是540 由此得凸n边形内角和是 n 2 180 A B C D 解析 是类比推理 是归纳推理 是归纳推理 所以 为合情推理 答案 C 3 某同学在电脑上打下了一串黑白圆 如图所示 按这种规律往下排 那么第36个圆的颜色应是 A 白色B 黑色C 白色可能性大D 黑色可能性大 解析 由图知 图形是三白二黑的圆周而复始相继排列 是一个周期为5的三白二黑的圆列 因为36 5 7余1 所以第36个圆应与第1个圆颜色相同 即白色 答案 A 4 一切奇数都不能被2整除 2100 1是奇数 所以2100 1不能被2整除 其演绎 三段论 的形式为 大前提 一切奇数都不能被2整除小前提 结论 所以2100 1不能被2整除 解析 三段论是由一般到特殊 一切奇数都不能被2整除是大前提 则小前提必是2100 1是奇数 答案 2100 1是奇数 5 若数列 an 中 a1 1 a2 3 5 a3 7 9 11 a4 13 15 17 19 则a8 解析 由a1 a2 a3 a4的形式可归纳 1 2 3 4 7 28 a8的首项应为第29个正奇数 即2 29 1 57 a8 57 59 61 63 65 67 69 71 512 答案 512 归纳推理 设f x 先分别求f 0 f 1 f 1 f 2 f 2 f 3 然后归纳猜想一般性结论 并给出证明 思路点拨 方法点评 1 归纳推理的特点 1 归纳是依据特殊现象推断出一般现象 因而由归纳所得的结论超越了前提所包含的范围 2 归纳的前提是特殊的情况 所以归纳是立足于观察 经验或试验的基础之上的 2 归纳推理的一般步骤 1 通过观察个别情况发现某些相同本质 2 从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题 特别提醒 归纳推理所得结论未必正确 有待进一步证明 类比推理 请用类比推理完成下表 思路点拨 由表格一 二两个问题的类比可知 线对面 长度对面积 从而内切圆应相对内切球 从而可解 自主探究 本题由已知前两组类比可得到如下信息 平面中的三角形与空间中的三棱锥是类比对象 三角形各边的边长与三棱锥的各面的面积是类比对象 三角形边上的高与三棱锥面上的高是类比对象 三角形的面积与三棱锥的体积是类比对象 三角形的面积公式中的 二分之一 与三棱锥的体积公式中的 三分之一 是类比对象 由以上分析可知 故第三行空格应填 三棱锥的体积等于其内切球半径与三棱锥表面积的乘积的三分之一 本题结论可以用等体积法 将三棱锥分割成四个小的三棱锥去证明 此处略 方法点评 1 类比推理是由特殊到特殊的推理 其一般步骤是 1 找出两类事物之间的相似性或一致性 2 用一类事物的性质去推测另一类事物的性质 得出一个明确的命题 猜想 2 类比是科学研究最普遍的方法之一 在数学中 类比是发现概念 方法 定理和公式的重要手段 也是开拓新领域和创造新分支的重要手段 类比在数学中应用广泛 数与式 平面与空间 一元与多元 低次与高次 相等与不等 有限与无限之间有不少结论 都是先用类比法猜想 而后加以证明的 2 在 ABC中 AB2 AC2 BC2 类比平面中的勾股定理 研究三棱锥的侧面积与底面积间的关系 可以得出正确结论 设三棱锥A BCD的三个侧面ABC ACD ADB两两垂直 则 解析 如右图所示 过A作BC的垂线AE与BC交于E 连接DE 则BC DE 答案 S2 ABC S2 ACD S2 ADB S2 BCD 演绎推理 已知函数f x a 0且a 1 1 证明 函数y f x 的图象关于点对称 2 求f 2 f 1 f 0 f 1 f 2 f 3 的值 思路点拨 证明本题依据的大前提是中心对称的定义 函数y f x 的图象上的任一点关于对称中心的对称点仍在图象上 小前提是f x a 0且a 1 的图象关于点对称 2 由 1 有 1 f x f 1 x 即f x f 1 x 1 f 2 f 3 1 f 1 f 2 1 f 0 f 1 1 则f 2 f 1 f 0 f 1 f 2 f 3 3 方法点评 演绎推理在数学命题的证明中是常用的方法 证明问题时要注意灵活运用 3 用三段论的形式写出下列演绎推理 1 若两角是对顶角 则该两角相等 所以若两角不相等 则该两角不是对顶角 2 矩形的对角线相等 正方形是矩形 所以 正方形的对角线相等 3 0 是有理数 4 y sinx x R 是周期函数 解析 1 两个角是对顶角 则两角相等 大前提 1和 2不相等 小前提 1和 2不是对顶角 结论 2 每一个矩形的对角线相等 大前提正方形是矩形 小前提正方形的对角线相等 结论 3 所有的循环小数是有理数 大前提0 是循环小数 小前提所以0 是有理数 结论 4 三角函数是周期函数 大前提y sinx是三角函数 小前提y sinx是周期函数 结论 1 2009年浙江高考 观察下列等式 C51 C55 23 2 C91 C95 C99 27 23 C131 C135 C139 C1313 211 25 C171 C175 C179 C1713 C1717 215 27 由以上等式推测到一个一般的结论 对于n N C4n 11 C4n 15 C4n 19 C4n 14n 1 解析 归纳推理 观察等式右边23 2 27 23 211 25 215 27 可以看到右边第一项的指数3 7 11 15 成等差数列 公差为4 首项为3 通项为4n 1 第二项的指数1 3 5 7 的通项为2n 1 故得结论24n 1 1 n22n 1 答案 24n 1 1 n22n 1 2 2009年湖北高考 古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数 比如 他们研究过图1中的1 3 6 10 由于这些数能够表示成三角形 将其称为三角形数 类似地 称图2中的1 4 9 16 这样的数为正方形数 下列数中既是三角形数又是正方形数的是 A 289B 1024C 1225D 1378 解析 根据图形的规律可知第n个三角形数为an 第n个正方形数为bn n2 由此可排除D 1378不是平方数 将A B C选项代入到三角形数表达式中检验可知 符合题意的是C选项 故选C 答案 C 3 2009年江苏高考 在平面上 若两个正三角形的边长的比为1 2 则它们的面积比为1 4 类似地 在空间中 若两个正四面体的棱长的比为1 2 则它们的体积比为 答案 1 8 4 2008年江苏高考 将全体正整数排成一个三角形数阵 按照以上排列的规律 第n行 n 3 从左向右的第三个数为 答案 1 合情推理主要包括归纳推理和类比推理 数学研究中 在得到一个新结论前 合情推理能帮助猜测和发现结论 在证明一个数学结论之前 合情推理常常能为证明提供思路与方向 2 合情推理的过程概况为 3 演绎推理是从一般性的原理出发 推出某个特殊情况下的结论的推理方法 是由一般到特殊的推理 常用的一般模式是三段