（新课标）高考数学专题五解析几何第3讲圆锥曲线中的最值、范围、证明问题练习理新人教A版.docx

第3讲圆锥曲线中的最值、范围、证明问题1已知F为椭圆C：1的右焦点，M为C上的任意一点(1)求|MF|的取值范围；(2)P，N是C上异于M的两点，若直线PM与直线PN的斜率之积为，证明：M，N两点的横坐标之和为常数解：(1)依题意得a2，b，所以c 1，所以椭圆C的右焦点F的坐标为(1，0)，设椭圆C上的任意一点M的坐标为(xM，yM)，则1，所以|MF|2(xM1)2y(xM1)23xx2xM4(xM4)2，又2xM2，所以1|MF|29，所以1|MF|3，所以|MF|的取值范围为1，3(2)证明：设P，M，N三点的坐标分别为(xP，yP)，(xM，yM)，(xN，yN)，设直线PM，PN的斜率分别为k1，k2，则直线PM的方程为yyPk1(xxP)，联立方程，得消去y，得(34k)x28k1(k1xPyP)x4kx8k1xPyP4y120，由根与系数的关系可得xMxP，所以xMxP，同理可得xNxP，又k1k2，故xNxP，则xNxPxM，从而xNxM0，即M，N两点的横坐标之和为常数2(2019郑州市第二次质量预测)椭圆1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，A为椭圆上一动点(异于左、右顶点)，AF1F2的周长为42，且面积的最大值为.(1)求椭圆C的方程；(2)设B是椭圆上一动点，线段AB的中点为P，OA，OB(O为坐标原点)的斜率分别为k1，k2，且k1k2，求|OP|的取值范围解：(1)由椭圆的定义及AF1F2的周长为42，可得2(ac)42，所以ac2.当A在上(或下)顶点时，AF1F2的面积取得最大值，即bc，由及a2c2b2，得a2，b1，c，所以椭圆C的方程为y21.(2)当直线AB的斜率不存在时，k1k2，因为k1k2，所以k1，不妨取k1，则直线OA的方程为yx，不妨取点A，则B，P(，0)，所以|OP|.当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为ykxm，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由可得(14k2)x28kmx4m240，64k2m24(4k21)(4m24)16(4k21m2)0，所以x1x2，x1x2.因为k1k2，所以4y1y2x1x20，所以4(kx1m)(kx2m)x1x2(4k21)x1x24km(x1x2)4m24m244m20，化简得2m214k2(满足式)，所以m2.设P(x0，y0)，则x0，y0kx0m.所以|OP|2xy2，所以|OP|.综上，|OP|的取值范围为.3(2019长春模拟)已知椭圆D：1(ab0)的离心率为e，点(，1)在椭圆D上(1)求椭圆D的方程；(2)过椭圆D内一点P(0，t)的直线l的斜率为k，且与椭圆D交于M，N两点，设直线OM，ON(O为坐标原点)的斜率分别为k1，k2，若对任意k，存在实数，使得k1k2k，求实数的取值范围解：(1)椭圆D的离心率e，所以ab，又点(，1)在椭圆D上，所以1，得a2，b，所以椭圆D的方程为1.(2)由题意得，直线l的方程为ykxt.由，消元可得(2k21)x24ktx2t240.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1x2，x1x2，k1k22k2kt.由k1k2k，得k，因为此等式对任意的k都成立，所以，即t22.因为点P(0，t)在椭圆内，所以0t22，即02b0)的离心率为，其左焦点到点P(2，1)的距离为.不经过原点O的直线l与椭圆C相交于A，B两点，且线段AB被直线OP平分(1)求椭圆C的方程；(2)求ABP的面积取最大值时，直线l的方程解：(1)依题意知，e，左焦点(c，0)到点P(2，1)的距离d0，得a24，c21，所以b23，故椭圆C的方程为1.(2)易得直线OP的方程为yx，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点R(x0，y0)(y00)，其中y0x0.因为A，B在椭圆C上，所以1，1，两式相减得0，即0，故kAB.由题意可设直线l的方程为yxm(m0)，代入1中，消去y并整理得3x23mxm230，由(3m)243(m23)3(12m2)0，得2m2且m0.由根与系数的关系，得x1x2m，x1x2，所以|AB|x1x2|.又点P(2，1)到直线l的距离d，所以ABP的面积SABP|AB|d，其中2m2且m0.令f(m)(4m)2(12m2)(2m2且m0)，则f(m)4(m4)