2-2,3 函数极限及其性质和运算法则

2.1 数列极限,第二章 极限与连续,2.2 函数极限,2.3 函数极限的性质及运算法则,1,2.4 无穷大量和无穷小量,2.5 函数的连续性,2.6 闭区间上连续函数的性质,2,函数的极限,数列极限是考察数列在n这一过程中的变化趋势(即有无极限)。而对于函数y=(x), 当考察它的变化趋势时, 因自变量的连续变化过程有许多情况，如x, x-, , 等。,3,当x-x0时,函数f(x)的极限,定义 设函数f(x)在的某邻域内有定义（ 可以除外）,如果当自变量x趋近于 时,函数f(x)的函数值无限趋近于某个确定的常数A,则称A为函数f(x)当x 时的极限，记为或,考察函数当x1时, 的值无限趋近于常数2，此时我们称当x趋近于1时，函数 极限为2。,4,当x-x0时,函数f(x)的极限,注: 1. 在 时的极限是否存在,与 在 点 处有无定义以及在点 处的函数值无关. 如果当 从的 左侧 趋近于 (记为 ）时, 以A为极限，则称A为函数 当 时的左极限，记为 或如果当 从 的右侧 趋近于 （记为 ）时, 以A为极限，则称A为函数 当 时的右极限，记为 或 ( )。,5,定理注: 上面定理常用来判断分段函数在分段点的极限是否存在。,函数的极限与左、右极限,例1 判断函数在点x=0处是否有极限。,解：所以,6,例2 已知则 在 处是否有左极限，是否有右极限。,函数的极限与左、右极限,7,练习1 判断函数 当x趋于1时是否有极限。,函数的极限与左、右极限,练习2 求 。,8,例3 已知则 在 处是否有左极限，是否有右极限,是否有极限。,函数的极限与左、右极限,定理 设f(x)是初等函数， 在f(x)的定义域内，那么 时（有时候只能是单侧过程），有,9,考虑函数 ，当x+时，函数f(x)无限趋近于常数1，此时我们称1为当x+时函数f(x)的极限。定义 如果当自变量x无限增大时，函数f(x)无限趋近于某个确定的常数A，则称常数A为函数f(x)当x+时的极限，记为 ，或,当x时,函数f(x)的极限,10,当x-时,函数f(x)无限趋近于常数1，此时我们称1为当x-时函数f(x)的极限为1， 。定义 如果当 无限增大时，函数f(x)无限趋近于某个确定的常数A，则称常数A为函数f(x)当x时的极限，记为 或 (x)。定理 的充要条件是,当x时,函数f(x)的极限,11,例4 求函数 在无穷大处的极限.,例5 求,练习3 求,解,12,练习4 求下列极限,2.1 数列极限,第二章 极限与连续,2.2 函数极限,2.3 函数极限的性质及运算法则,13,2.4 无穷大量和无穷小量,2.5 函数的连续性,2.6 闭区间上连续函数的性质,14,性质3（保号性）,性质4 设 ，且存在正整数 使得 时， .那么,性质5 夹逼定理(squeeze theorem),从数列极限的性质到函数极限的性质,15,性质1(唯一性)如果函数在某一变化过程中有极限，则其极限是唯一的,从数列极限的性质到函数极限的性质,性质2(有界性)若函数f(x)当 时极限存在，则必存在 的某一邻域，使得函数f(x)在该邻域内有界,16,性质3(局部保号性)如果则在X的某一个邻域内,性质4 如果并且在极限过程 下 ，则,17,性质5(夹逼定理)如果对于 的某邻域内的一切x( 可以除外），都有且 ,则,18,极限的运算法则,19,两个重要极限,20,21,22,例6,注：在上例中，应用公式时，我们使用了代换 ,在运算熟练后可不必代换，直接计算：,23,练习5 求极限:,24,例7,解,例8,解,25,这是重要极限2常用的另一种形式.,重要极限2,例9,解 令 ,则当 时, ,因此,26,练习6,解,27,第三周作业习题2.1 2