新人教A版选修2_2020学年高中数学阶段质量检测（一）计数原理

阶段质量检测（一） 计数原理 (时间120分钟满分150分)一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1计算C2A的值是()A64B80C13 464 D40解析：选BC2AC2A24380.2将A，B，C，D，E排成一列，要求A，B，C在排列中顺序为“A，B，C”或“C，B，A”(可以不相邻)，则不同的排列方法有()A12种B20种C40种 D60种解析：选C五个元素没有限制，全排列数为A，由于要求A，B，C的次序一定(按A，B，C或C，B，A)，故所求排列数为240.3(1x)10展开式中x3项的系数为()A720B720C120 D120解析：选D由Tr1C(x)r(1)rCxr，因为r3，所以系数为(1)3C120.4某城市的街道如图，某人要从A地前往B地，则路程最短的走法有()A8种B10种C12种 D32种解析：选B此人从A到B，路程最短的走法应走两纵3横，将纵用0表示，横用1表示，则一种走法就是2个0和3个1的一个排列，只需从5个位置中选2个排0，其余位置排1即可，故共有C10种5已知(1x)10a0a1(1x)a2(1x)2a10(1x)10，则a8等于()A5B5C90 D180解析：选D(1x)102(1x)10a0a1(1x)a2(1x)2a10(1x)10，a8C22180.612名同学合影，站成了前排4人后排8人，现摄影师要从后排8人中抽2人调整到前排，其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的种数是()ACABCACCA DCA解析：选D第一步可先从后排8人中选2人共有C种；第二步可认为前排放6个座位，先选出2个座位让后排的2人坐，由于其他人的顺序不变，所以有A种坐法综上知“不同”调整方法的种数为CA.7在(1x)11的展开式中，含x的奇次幂的各项系数的和是()A210B210C211 D211解析：选A(1x)11的展开式中，含x的奇次幂的项即偶数项，由于偶数项的二项式系数和为210，偶数项的系数均为负数，故含x的奇次幂的各项系数的和为210.8二项式11的展开式中，系数最大的项为()A第五项B第六项C第七项 D第六和第七项解析：选C依题意得展开式的通项的系数为Tr1C(1)r，二项式系数最大的是C与C，所以系数最大的是T7C.9已知直线axby10(a，b不全为0)与圆x2y250有交点，且交点的横、纵坐标均为整数，那么这样的直线有()A66条B72条C74条 D78条解析：选B先考虑x0，y0时，圆上横、纵坐标均为整数的点有(1,7)(5,5)(7,1)，依圆的对称性知，圆上共有3412个点的横、纵坐标均为整数，经过其中任意两点的割线有C66(条)，过每一点的切线共有12条，又考虑到直线axby10不经过原点，而上述直线中经过原点的有6条，所以满足题意的直线共有6612672(条)10将二项式8的展开式中所有项重新排成一列，有理式不相邻的排法种数为()AABAACAA DAA解析：选C8展开式的通项公式Tr1C()8rrx，r0,1,2，8.当为整数时，r0,4,8. 展开式共有9项，其中有有理项3项，先排其余6项有A种排法，再将有理项插入形成的7个空挡中，有A种方法共有AA种排法二、填空题(本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分把答案填在题中横线上)11将5名志愿者分成4组，其中一组有2人，其余各组各1人，到4个路口协助交警执勤，则不同的分配方法有_种(用数字作答)解析：分配方法数为A240.答案：24012若(1)4ab(a，b为有理数)，则a_，b_.解析：(1)4C()0C()1C()2C()3C()41412841712，由已知，得1712ab，a17，b12.答案：171213已知(1x)na0a1xa2x2anxn，若a0a1a2an16，则n_，a3_.解析：令x1，得2n16，则n4.a3C4.答案：4414若n的展开式中含有常数项，则最小的正整数n等于_，此时常数项为_解析：二项式的通项为Tr1C(2x3)nrrC2nrx3n，令3nr0，即rn，而rN*.n为7的整数倍，即最小的正数n等于7，此时常数项为T7C214.答案：71415(2019浙江高考)在二项式(x)9的展开式中，常数项是_，系数为有理数的项的个数是_解析：由二项展开式的通项公式可知Tr1C()9rxr，rN,0r9，当为常数项时，r0，T1C()916.当项的系数为有理数时，9r为偶数，可得r1,3,5,7,9，即系数为有理数的项的个数是5.答案：16516用数字2,3组成四位数，且数字2,3至少都出现一次，这样的四位数共有_个(用数字作答)解析：因为四位数的每个数位上都有两种可能性，其中四个数字全是2或3的情况不合题意，所以适合题意的四位数有24214个答案：1417设m为大于1且小于10的正整数，若m的展开式中有不含x的项，满足这样条件的m有_个解析：m的展开式的通项为Tr1C(x3)mrr(1)rCx3m5r.因为展开式中有不含x的项，所以有3m5r0，即3m5r.又1m10(0rm)且mN*，rN，所以满足条件的m只有m5这一个答案：1三、解答题(本大题共5小题，共74分，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)18(本小题满分14分)已知在(12log2x)n的展开式中，所有奇数项的二项式系数的和为64.(1)求n的值；(2)求展开式中所有项的系数之和解：(1)由题意知CCCC264，即2n128，则n7.(2)设(12log2x)7a0a1log2xa2(log2x)2a7(log2x)7，令x2，得a0a1a2a7(12log22)71，即展开式中所有项的系数之和为1.19(本小题满分15分)10件不同厂生产的同类产品：(1)在商品评选会上，有2件商品不能参加评选，要选出4件商品，并排定选出的4件商品的名次，有多少种不同的选法？(2)若要选6件商品放在不同的位置上陈列，且必须将获金质奖章的两件商品放上，有多少种不同的布置方法？解：(1)10件商品，除去不能参加评选的2件商品，剩下8件，从中选出4件进行排列，有A1 680(或CA)(种)(2)分步完成先将获金质奖章的两件商品布置在6个位置中的两个位置上，有A种方法，再从剩下的8件商品中选出4件，布置在剩下的4个位置上，有A种方法，共有AA50 400(或CA)(种)20(本小题满分15分)已知n的展开式中的第二项和第三项的系数相等(1)求n的值；(2)求展开式中所有二项式系数的和；(3)求展开式中所有的有理项解：二项式n展开式的通项公式为Tr1CxnrrCrxnr，(r0,1，2，n)(1)根据展开式中的第二项和第三项的系数相等，得CC2，即n，解得n5.(2)展开式中所有二项式系数的和为CCCC2532.(3)二项展开式的通项公式为Tr1Crx5r，(r0,1,2，5)当r0,2,4时，对应项是有理项，所以展开式中所有的有理项为T1C0x5x5，T3C2x2x2，T5C4x1.21(本小题满分15分)从集合1,2,3，20中任选出3个不同的数，使这3个数成等差数列，这样的等差数列可以有多少个？解：设a，b，cN*，且a，b，c成等差数列，则ac2b，所以ac应是偶数因此，若从1,2，20这20个数字中任选出3个不同的数成等差数列，则第一个数与第三个数必同为偶数或同为奇数而1到20这20个数字中有10个偶数10个奇数，当第一个数和第三个数选定后，中间数唯一确定，因此，选法只有两类：第一、三个数都是偶数，有A种选法；第一、三个数都是奇数，有A种选法于是，满足题意的等差数列共有AA180(个)22(本小题满分15分)某医院有内科医生12名，外科医生8名，现选派5名参加赈灾医疗队(1)某内科医生甲与某外科医生乙必须参加，共有多少种不同选法？(2)甲、乙均不能参加，有多少种选法？(3)甲、乙2人至少有1人参加，有多少种选法？(4)医疗队中至少有1名内科医生和1名外科医生，有多少种选法？解：(1)只需从其他18人中选3人即可，共有C816种选法(2)只需从其他18人中选5人即可，共有C8 568种选法(3)分两类