立体几何专题

专题五 立体几何5.1 三视图与直观图(1课时)【知识要点】1 三视图： 正视图：从前往后 侧视图：从左往右 俯视图：从上往下2 画三视图的原则： 。 3直观图：斜二测画法4斜二测画法的步骤：（1）.平行于坐标轴的线依然平行于坐标轴；（2）.平行于y轴的线长度 ，平行于x，z轴的线长度 ；【基础演练】1如图是由大小相同的长方体木块堆成的几何体的三视图，则此几何体共由_块木块堆成2一个多面体的直观图及三视图如下图所示（左），则该多面体的体积为 3一个几何体的三视图如上图（右），则它的表面积为_.4 2014新课标全国卷 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为()A6 B6 C4 D4 图【典例分析】例1.如图所示的直观图，其平面图形的面积为（ ） A3B.C6D3【方法小结】例2.已知一个正三棱锥的正视图如右图所示，则此正三棱锥的侧面积等于 . 【方法小结】例3.已知一个正三棱柱的三视图如下图所示，则其体积为 .【方法小结】【巩固提升】1.【2012高考湖南】某几何体的正视图和侧视图均如图1所示，则该几何体的俯视图不可能是（ ）2某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的表面积是（ ）32 48 3如下图所示，下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是_ 4某四面体的三视图如图所示，该四面体四个面的面积中，最大的是（ ）8 10 5 2015全国卷 圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图14所示若该几何体的表面积为1620，则r()A1 B2 C4 D8专题五 立体几何5.2 体积与表面积（1课时）【知识要点】1圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式2空间几何体的表面积和体积公式3空间几何体的表面积1棱柱、棱锥的表面积： 各个面面积之和2 圆柱的表面积 ； 3 圆锥的表面积 ；4 圆台的表面积 ； 5 球的表面积 。4空间几何体的体积1柱体的体积 ； 2锥体的体积 ； 3台体的体积 ； 4球体的体积 。【基础演练】1长、宽、高分别为4、3、2的长方体的表面积为（ ） 26 52 2 2013新课标全国卷 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A168 B88 C1616 D8163半径为R的半圆卷成一个圆锥，则它的体积是（ ） 42016全国卷 如图11，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径若该几何体的体积是，则它的表面积是()A17 B18 C20 D28【典例分析】例1.某棱锥的三视图如右图所示，求该棱锥的表面积(单位：)【方法小结】例2.球的表面积为324，其内接正四棱柱的高是14，求这个正四棱柱的表面积.【方法小结】【巩固提升】1有一个几何体的三视图及其尺寸如右下(单位：)，则该几何体的表面积为 () 2底面是菱形的棱柱其侧棱垂直于底面，且侧棱长为5，它的对角线长分别是9和15，则这个棱柱的侧面积为（ ）130 140 150 1603圆台上、下底面面积分别是、，侧面积是，这个圆台的体积是() 4一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是、，则这个长方体的对角线长是 5如图，在正三棱柱ABCA1B1C1中，D为棱AA1的中点，若截面BC1D是面积为6的直角三角形，求此三棱柱的体积专题五 立体几何5.3 平行关系（1课时）【知识要点】1判定线线平行的方法（1）平行于同一直线的两直线互相 ；（2）如果一条直线和一个平面平行，那么经过这条直线的平面和这个平面相交的 和这条直线平行；（3）如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的 平行；（4）线面垂直的性质：如果两条直线都垂直于同一个平面，那么这两条直线 （5）利用中位线的性质；2直线与平面平行的判定如果平面外一条直线和这个平面平面内 平行，那么这条直线和这个平面平行；若两个平面平行，则其中一个平面内的 直线与另一个平面平行3两个平面平行的判定一个如果平面内有两条 直线和另一个平面平行，则这两个平面平行；依据垂直于同一 的两平面平行来判定；利用面面平行传递性依定义【基础演练】1下列四个命题：（1）分别在两个平面内的两条直线是异面直线；（2）和两条异面直线都垂直的直线有且只有一条；（3）和两条异面直线都相交的两条直线必异面；（4）若与是异面直线，与是异面直线，则与是异面直线.其中真命题个数为（ ） 3 2 1 02，是两个不重合平面，是两条不重合直线，那么的一个充分条件是（ ） 且 ，且 ，且 ，且3已知正方体，下面结论中，正确的结论是 （1）；（2）平面平面 ；（3）；（4）平面.4 2016全国卷 ，是两个平面，m，n是两条直线，有下列四个命题：如果mn，m，n，那么. 如果m，n，那么mn.如果，m，那么m.如果mn，那么m与所成的角和n与所成的角相等其中正确的命题有_(填写所有正确命题的编号)【典例分析】例1已知是三棱柱，是的中点.求证：平面.【方法小结】例2在直四棱柱中，底面为等腰梯形，且，在棱上是否存在一点，使平面/平面？若存在，求点的位置，若不存在，请说明理由.【方法小结】【巩固提升】1给出下列四个命题：垂直于同一直线的两条直线互相平行.垂直于同一平面的两条直线互相平行.若直线，与同一个平面所成的角相等，则与相互平行.若直线，是异面直线，则与直线，都相交的两条直线是异面直线.其中假命题是 .2 已知、b、c为三条不重合直线，、为三个不重合的平面，直线均不在平面内，给出下列几个命题： 其中正确的有_.ABPGFEDC3（北京2011）如右图，在四面体中，,点分别是棱的中点.（1）求证：平面； （2）求证：四边形为矩形.专题五 立体几何5.4 线线、线面垂直关系 （2课时）【知识要点】1两直线垂直的判定：转化为证线面垂直2.直线和平面垂直的判定：如果一条直线和一个平面内的两条 直线都垂直，那么这条直线和这个平面垂直；两条平行线中有一条直线和一个平面垂直，那么另一条直线也和这个平面 ；一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也 于另一个平面；【基础演练】1设为平面，为直线，则的一个充分条件是（ ） 2给定下列四个命题：（1）若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；（2）若一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面相互垂直；（3）垂直于同一直线的两条直线相互平行；（4）若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与一个平面也不垂直其中为真命题的是（ ） （1）和（2） （2）和（3） （2）和（4） （3）和（4）32013 年高考全国新课标已知m, n 为异面直线，m平面，n平面 .直线l 满足lm，ln，l /，l /, 则：（A）且l （B）且l（C）与相交，且交线垂直于l （D）与相交，且交线平行于l42008 年高考全国新课标卷已知平面平面，= l，点A，Al，直线ABl，直线ACl，直线m，m，则下列四种位置关系中，不一定成立的是（ ）A. ABm B. ACm C. AB D. AC【典例分析】例1已知四棱锥中，垂直于矩形所在的平面，分别是的中点，证明：平面.【方法小结】例2已知长方体的底面ABCD是边长为4的正方形，OPDCABAAAA高=，为 的中点，交于点.（1）求证：平面；（2）求证：.【方法小结】【巩固提升】1四棱锥SABCD的底面为正方形，SD底面ABCD，则下列结论中不正确的是（ ）ACSBAB平面SCDSA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角2对于平面和直线m、n，给出下列命题若mn,则m、n与所成的角相等；若m,mn,则n;若m与n是异面直线，且m,则n与相交.其中真命题的个数是（ ）(A)0 (B)1 (C)2 (D)33在四棱锥中，底面，是的中点（1）证明；（2）证明平面专题五 立体几何5.5 面面的垂直关系（2课时）【知识要点】两个平面垂直的判定：判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条 ，那么这两个平面互相垂直.（在一个面中找另一个面的一条垂线：在一面内作两面交线的垂线，即为所求）；定义法：找一个平面与这两个平面都垂直相交，证明两交线 为直角. 性质定理： 两个平面垂直，则一个平面内垂直于 的直线与另一个平面垂直。【基础演练】1在四棱锥中，底面，且底面各边都相等，是上的一动点，当满足 _ 时，平面平面（只要填写一个你认为是正确的条件即可） 22013 年高考全国新课标卷已知m, n 为异面直线，m平面，n平面 .直线l 满足lm，ln，l /，l /, 则：( ) （A）且l （B）且l（C）与相交，且交线垂直于l （D）与相交，且交线平行于l 32008 年高考全国新课标卷已知平面平面，= l，点A，Al，直线ABl，直线ACl，直线m，m，则下列四种位置关系中，不一定成立的是（ ）A. ABm B. ACm C. AB D. AC 42016 年高考全国新课标卷, 是两个平面，m,n 是两条直线，有下列四个命题：（1）如果m n,m ,n / / ，那么 ；（2）如果m ,n / / ，那么m n ；（3）如果 / / ,m ， 那么m / / ；（4）如果m / /n, / / ，那么m 与 所成的角和n 与 所成的角相等.其中正确的命题有 (填写所有正确命题的编号）【典例分析】例1.是矩形所在平面外一点，平面，求证:平面平面【方法小结】例2.如图，在中，是上的高，沿把折起，使.证明：平面平面.【方法小结】【巩固提升】1若，表示平面，a，b表示直线，则a的一个充分条件是（ ）A ，且aB = b，且abC ab，且bD ，且a2如图，已知四边形ABCD是正方形，PA平面ABCD，则图中所有互相垂直的平面共有 （ ）A8对B7对C6对D5对3如图，在四棱锥P-ABCD中，PA底面ABCD底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足_时，平面MBD平面PCD.4已知正方形ABCD的边长为1，分别取边BC、CD的中点E、F，连结AE、EF、AF，以AE、EF、FA为折痕，折叠使点B、C、D重合于一点P.（1）求证：APEF；（2）求证：平面APE平面APF.专题五 立体几何5.6 两异面直线所成的角（2课时） 【知识要点】1异面直线所成角：直线是异面直线，经过空间任意一点，分别引直线、，则把直线和所成的_,叫做异面直线和所成的角.2.两条异面直线所成角的范围是_.3.若两条异面直线所成的角是_，我们就说这两条异面直线互相垂直.【基础演练】1. 正方体中：(1)与所成的角是_；(2)与所成的角是_.2. 如图，在正方体中，分别为与的中点，为底面的中心，则与所成的角为 ( ) 30 60 90 45 3.正四面体中，与所成的角为_.42014 年高考全国新课标卷直三棱柱ABC-A1B1C1 中，BCA=90，M，N 分别是A1B1，A1C1 的中点，BC=CA=CC1，则BM 与AN 所成的角的余弦值为（ ）A. B. C. D. 【典例分析】例1如图，在三棱锥中，求异面直线与所成角的余弦值.【方法小结】例3已知四棱锥的底面为直角梯形，底面，且，是的中点.求与所成的角的余弦值. 【方法小结】【巩固提升】1一个正方体纸盒展开后如图，在原正方体纸盒中有下列结论：ABEF AB与CM成600 EF与MN是异面直线 MNCD，其中正确的是 （ ）A B C D 2. 空间四边形中，分别是的中点，与所成的角的余弦值为_.3已知空间四边形中，分别为、的中点.则异面直线与所成的角的余弦值为 . 4（2011北京理16）如图，在四棱锥中，平面，底面是菱形，.(1)求证：平面；(2)若求与所成角的余弦值专题五 立体几何5.7 直线与平面所成的角（2课时）【知识要点】1.定义： 2.图形:3.取值范围： 【基础演练】1.在正方体中，与平面所成的角为_.2.在三棱锥中,，且,则与底面所成角为_.3.如图，正三棱柱的9条棱长均相等，则与面所成的角的余弦值为_. 42015 年高考全国新课标卷数学改编（本小题满分12 分）如图，长方体中， AB =16， BC =10， = 8 ，点 E ， F 分别在 ， 上，过点E ，F 的平面 与此长方体的面相交，交线围成一个正方形,则直线AF 与平面 所成角的正弦值为 。【典例分析】例1.如图，四面体中，两两垂直，0，0，为中点.（1）求证：（2）求与平面所成角的正切值【方法小结】32016 年高考全国新课标卷数学（理）第19 题（本小题满分12 分）如图，四棱锥P ABCD 中，PA 底面ABCD ， AD BC ， AB = AD = AC = 3，PA = BC = 4，M 为线段AD 上一点，AM = 2MD，N 为PC 的中点（I）证明MN 平面PAB ；（II）求直线AN 与平面PMN 所成角的正弦【方法小结】【巩固提升】1在正三棱柱中，侧棱长为，底面正三角形的边长为1，则与侧面所成的角的大小是 22008 年高考全国新课标卷理数改编如图，已知点P 在正方体ABCD ABCD的对角线BD上，PDA = 60则DP 与CC 所成角的大小为 ；DP 与平面AADD 所成角的大小为 2如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，为中点，平面，为中点（1）证明：/平面；（2）证明：平面；（3）求直线与平面所成角的正切值专题五 立体几何（理科专用）5.8 二面角（2课时）【知识要点】1二面角：从一条直线出发的 所组成的图形叫做二面角2二面角的平面角：以二面角的棱上 一点为端点，在两个面内分别作 棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角.3. 二面角的平面角范围是 4.求法：(1)定义法；(2)垂面法；(3)三垂法【基础演练】1.若一个二面角的两个半平面分别平行与另一个二面角的两个半平面,则这两个二面角的大小关系为是( )相等 互补 相等或互补 不能确定2.在正四面体中，为中点，二面角的平面角的余弦值为_.3. 在正方体-中，二面角大小为_；二面角的余弦值为_.42014 年高考全国新课标卷理数改编则 为 。【典例分析】例1. （2009陕西19）如图，直三棱柱中，CBAC1B11.(1)证明：；(2)求二面角AB的大小. 【方法小结】例2.（2008湖南18）如图所示，四棱锥的底面是边长为1的菱形，是的中点，底面，.（1）证明：平面平面；（2）求二面角的大小.【方法小结】【巩固提升】1.是正方体棱的中点，则面与面所成的角（锐角）为余弦值为 .2.在直三棱柱中，且异面直线与所成的角等于，设.ABCA1B1C1（1）求的值； （2）求平面与平面所成的锐二面角的大小.3（2008天津19）ABCDP如图，在四棱锥中，底面是矩形已知，（1）证明平面；（2）求异面直线与所成的角的正切值；（3）求二面角的正切值专题五 立体几何（理科专用）5.9 立体几何中的向量方法（3课时）【知识要点】1.异面直线所成角的求法设a,b分别是两异面直线l1,l2的方向向量,则 a与b的夹角l1与l2所成的角范围 (0,) 求法 cos= 2.直线和平面所成角的求法:如图所示,设直线l的方向向量为e,平面的法向量为n,直线l与平面所成的角为,两向量e与n的夹角为,则有sin=|cos|=_ 3.二面角的求法:a.如图,AB,CD是二面角-l-两个半平面内与棱l垂直的直线,则二面角的大小=_.b.如图,n1,n2分别是二面角-l-的两个半平面,的法向量,则二面角的大小满足cos=_或_.【基础演练】1两不重合直线l1和l2的方向向量分别为v1(1,0，1)，v2(2,0,2)，则l1与l2的位置关系是()A平行 B相交 C垂直 D不确定2已知平面内有一个点M(1，1,2)，平面的一个法向量是n(6，3,6)，则下列点P中在平面内的是()AP(2,3,3) BP(2,0,1) CP(4,4,0) DP(3，3,4)3如图所示,已知正方体ABCD-A1B1C1D1,E,F分别是正方形A1B1C1D1和ADD1A1的中心,则EF和CD所成的角是.4(人教A版教材习题