数学建模报告公司的销售额预测.doc

公司的销售额预测一、问题重述某公司想用全行业的销售额作为自变量来预测公司的销售量,下表给出了19771981年公司的销售额和行业销售额的分季度数据(单位：百万元)年季公司销售额行业销售额年季公司销售额行业销售额19771120.96127.3197931124.54148.32221.40130.041224.30146.43321.96132.7198011325.00150.24421.52129.421425.64153.119781522.39135.031526.36157.32622.76137.141626.98160.73723.48141.2198111727.52164.24823.66142.821827.78165.619791924.10145.531928.24168.721024.01145.342028.78171.7表1 公司的公司销售额和行业销售额的分季度数据(单位：百万元)(1)画出数据的散点图,观察用线性回归模型拟合是否合适.(2)建立公司销售额对全行业的回归模型,并用DW检验诊断随机误差项的自相关性.(3) 建立消除了随机误差项自相关性之后的回归模型. 二、问题分析与假设销售收入预测的方法主要有时间序列法、因果分析法和本量利分析法等.时间序列法,是按照时间的顺序,通过对过去几期实际数据的计算分析,确定预测期产品销售收入的预测值.表1 的数据是以时间顺序为序列的,称为时间序列.由于公司销售额和行业销售额等经济变量均有一定的滞后性,因此,在这样的时间序列数据中,同一变量的顺序观测值之间出现相关现象是很自然的.然而,一旦数据中存在这种自相关序列,如果仍采用普通的回归模型直接处理,将会出现不良后果,其观测也会失去意义,为此,我们必须先来检验数据是否存在自相关,一旦存在,就要考虑自相关关系,建立新的模型.定义与符号说明行业销售额公司销售额公司销售额的估计值三、模型建立与求解一、基本统计回归模型建立以行业销售额为自变量、以公司销售额为因变量的散点图,其中图1 对的散点图 从图1可以看出,随着行业销售额的增加,公司销售额也增加,而且两者有很强的线性关系,因此可以建立线性回归模型,为随机误差 假设与是相互独立的,且服从均值为零的正态分布.由表1的数据以及上述线性回归模型的假设,进行数据处理,得到回归系数估计值及其置信区间和检验统计量,见表2.参数参数估计值置信区间-1.45475-1.90465 -1.004850.1762830.173248 0.179318 表2 模型的计算结果将参数估计值代入得到, 由表2知,几乎处处可由确定.用作出其交互式画面,由此可以给出不同水平下的预测值及其置信区间,通过左方的下拉式菜单,可以输出模型的统计结果,见图2.图2 回归分析中的交互式画面二、自相关性的判别我们可以看到模型的拟合度很高(),即可认为可由模型确定.但此模型并未考虑到我们的数据是一个时间序列.在对时间序列数据做回归分析时,模型的随机误差项可能存在相关性,违背于模型对独立的基本假设.现在我们考虑如下模型： 其中是自相关系数,相互独立且服从均值为0的正态分布.模型中,若,则退化为普通的回归模型;若,则随机误差存在正的自相关;若,则随机误差存在负的自相关.大多数与经济有关的时间序列数据,在经济规律作用下,一般随着时间的推移有一种向上或向下的变动趋势,其随机误差表现出正相关性.检验是一种常用的诊断自相关现象的统计方法.首先根据模型得到的残差,计算统计量如下： 其中是观察值个数,残差为随机误差项的估计值.当较大时, 而式的右端正是自相关系数的估计值,于是 由于,所以,并且若在0附近时,则在2附近,的自相关性很弱(或不存在自相关性);若在附近时,则在0或4附近,的自相关性很强.要根据的具体数值来确定是否存在自相关性,应该在给定的检验水平下依照样本容量和回归变量数目,查分布表,得到检验的临界和,然后由表3中所在的区间来决定.2正自相关不能确定无自相关不能确定负自相关表3 与值相对应的自相关状态三、加入自相关后的模型根据式可计算出,对于显著性水平,查分布表,得到检验的临界值和,现在,由表3可以认为随机误差存在正自相关,且的估计值可由式得.作变换, 则模型化为 ,其中, 以的估计值代入式作变换,利用变换后的数据、估计模型的参数,得到的结果见表4,可以得到其剩余标准差为0.067.变换变量和回归系数估计回归系数置信区间-0.74396 -0.038870.16748 0.18000 表4 模型的计算结果对模型也做一次自相关检验,即诊断随机误差是否还存在自相关,从模型的残差可计算出,对于显著性水平以及时,检验的临界值为,故,所以可以认为随机误差不存在自相关.因此经变换得到的回归模型是适用的.最后,将模型中的和还原为原始变量和,得到结果为： 四、结果分析与预测从机理上看,对于带滞后性的经济规律作用下的时间序列数据,加入自相关的模型更为合理,而且在本例中,衡量与实际数据拟合程序的指标剩余标准差从模型的0.081减少到0.0671.当用模型对公司的销售额作预测时,先估计未来的全行业销售额,比如,设t=21时,=174.1,容易由模型得到=29.1860.四 、模型的评价一、模型的优点经检验认为普通回归模型的随机误差存在自相关,由,式估计出自相关系数后,采用变换的方法得到模型,成称为广义差分法.这种方法消除了原模型随机误差的自相关性,得到的式是一阶自相关模型.二、模型的缺点检验和广义差分法在经济数据建模中有着广泛的应用,但是也存在着明显的不足：若的数值落在无法确定自相关性的区间,则只能设法增加数据量,或选用其他方法;如果原始数据序列存在高阶自相关性,则需要反复使用检验和广义差分,直至判定不存在自相关为止.另外,分布表中数据容量的下限是15.参考文献1 徐金明,张孟喜,丁涛,北京:清华大学出版社;北京交通大学出版社,2005.7(2007.8重印).2. 姜启源,谢金星、叶俊,数学模型(第四版),北京:高等教育出版社,20011.1(2012.5重印).附录1. 散点图的程序clear;x=127.3 130.0 132.7 129.4 135.0 137.1 141.2 142.8 145.5 145.3 148.3 146.4 150.2 153.1 157.3 160.7 164.2 165.6 168.7 171.7;y=20.96 21.40 21.96 21.52 22.39 22.76 23.48 23.66 24.10 24.01 24.54 24.30 25.00 25.64 26.36 26.98 27.52 27.78 28.24 28.78;plot(x,y,*)2.模型(1)的计算程序clear;x=127.3 130.0 132.7 129.4 135.0 137.1 141.2 142.8 145.5 145.3 148.3 146.4 150.2 153.1 157.3 160.7 164.2 165.6 168.7 171.7;y=20.96 21.40 21.96 21.52 22.39 22.76 23.48 23.66 24.10 24.01 24.54 24.30 25.00 25.64 26.36 26.98 27.52 27.78 28.24 28.78;x=ones(20,1),x;b,bint,r,rint,stats=regress(y,x)输出结果:b = -1.45475004139634 0.176282811457384bint = -1.90465420468789 -1.00484587810479 0.173247525367995 0.179318097546773r = -0.0260518571286674 -0.0620154480636046 0.0220209610014628 0.163754238810824 0.046570494649476 0.0463765905889701 0.043617063613695 -0.058435434718124 -0.0943990256530576 -0.149142463361581 -0.147990897733738 -0.0530535559647056 -0.0229282395027646 0.105851607270822 0.0854637991498031 0.106102240194701 0.0291124000938581 0.0423164640535205 -0.0441602514643726 -0.0330086858365206rint = -0.195385871759251 0.143282157501916 -0.231871886037631 0.107840989910421 -0.152853753861225 0.19689567586415 0.0131634673388031 0.314345010282846 -0.128820728276878 0.22196171757583 -0.130374632908482 0.223127814086423 -0.135221944162416 0.222456071389806 -0.236666572408848 0.119795702972601 -0.26910531130757 0.0803072600014548 -0.313617420748614 0.0153324940254506 -0.31288219186159 0.0169003963941133 -0.232314787682902 0.126207675753491 -0.203701178032592 0.157844699027063 -0.0664228030147936 0.278126017556437 -0.0879446576592735 0.25887225595888 -0.0620923905849254 0.274296870974328 -0.144034956949209 0.202259757136925 -0.128748679311955 0.213381607418996 -0.211614739705066 0.123294236776321 -0.197152337494454 0.131134965821413stats = Columns 1 through 3 0.998792444207198 14888.1435565111 1.01315527327091e-027 Column 4 0.007405683407079543. 散点图的交互式程序clear;x=127.3 130.0 132.7 129.4 135.0 137.1 141.2 142.8 145.5 145.3 148.3 146.4 150.2 153.1 157.3 160.7 164.2 165.6 168.7 171.7;y=20.96 21.40 21.96 21.52 22.39 22.76 23.48 23.66 24.10 24.01 24.54 24.30 25.00 25.64 26.36 26.98 27.52 27.78 28.24 28.78;rstool(x,y,linear)4.模型(2)的残差x=127.3 130.0 132.7 129.4 135.0 137.1 141.2 142.8 145.5 145.3 148.3 146.4 150.2 153.1 157.3 160.7 164.2 165.6 168.7 171.7;y=20.96 21.40 21.96 21.52 22.39 22.76 23.48 23.66 24.10 24.01 24.54 24.30 25.00 25.64 26.36 26.98 27.52 27.78 28.24 28.78;for i=1:1:20z(i)=-1.45475+0.17628*x(i);e(i)=y(i)-z(i);endze输出结果:z = Columns 1 through 3 20.985694 21.46165 21.937606 Columns 4 through 6 21.355882 22.34305 22.713238 Columns 7 through 9 23.435986 23.718034 24.19399 Columns 10 through 12 24.158734 24.687574 24.352642 Columns 13 through 15 25.022506 25.533718 26.274094 Columns 16 through 18 26.873446 27.490426 27.737218 Columns 19 through 20 28.283686 28.812526e = Columns 1 through 3 -0.0256939999999979 -0.0616500000000002 0.0223940000000056 Columns 4 through 6 0.164118000000002 0.0469500000000025 0.0467620000000046 Columns 7 through 9 0.0440140000000042 -0.0580339999999993 -0.093989999999998 Columns 10 through 12 -0.148733999999997 -0.147574000000002 -0.0526419999999987 Columns 13 through 15 -0.0225059999999964 0.106282000000004 0.0859059999999978 Columns 16 through 18 0.106554000000003 0.0295740000000038 0.0427820000000025 Columns 19 through 20 -0.0436859999999974 -0.03252599999999365.计算DW和e =-0.0256939999999979 -0.0616500000000002 0.02239400000000560.164118000000002 0.0469500000000025 0.04676200000000460.0440140000000042 -0.0580339999999993 -0.093989999999998-0.148733999999997 -0.147574000000002 -0.0526419999999987-0.0225059999999964 0.106282000000004 0.08590599999999780.106554000000003 0.0295740000000038 0.0427820000000025-0.0436859999999974 -0.0325259999999936;s=0;for t=2:1:20s=s+(e(t)-e(t-1)2;endm=0;for i=1:1:20m=m+e(i)2;endDW=s/mp=1-1/2*DW输出结果:DW = 0.734645539224993p = 0.6326772303875036.模型(3)中的数据变换x=127.3 130.0 132.7 129.4 135.0 137.1 141.2 142.8 145.5 145.3 148.3 146.4 150.2 153.1 157.3 160.7 164.2 165.6 168.7 171.7;y=20.96 21.40 21.96 21.52 22.39 22.76 23.48 23.66 24.10 24.01 24.54 24.30 25.00 25.64 26.36 26.98 27.52 27.78 28.24 28.78;p=0.63268for t=1:1:19y1(t)=y(t+1)-p*y(t);x1(t)=x(t+1)-p*x(t);endy1x1输出结果:p = 0.63268y1 = Columns 1 through 3 8.1390272 8.420648 7.6263472 Columns 4 through 6 8.7747264 8.5942948 9.0802032 Columns 7 through 9 8.8046736 9.1307912 8.762412 Columns 10 through 12 9.3493532 8.7740328 9.625876 Columns 13 through 15 9.823 10.1380848 10.3025552 Columns 16 through 18 10.4502936 10.3686464 10.6641496 Column 19 10.9131168x1 = Columns 1 through 3 49.459836 50.4516 45.443364 Columns 4 through 6 53.131208 51.6882 54.459572 Columns 7 through 9 53.465584 55.153296 53.24506 Columns 10 through 12 56.371596 52.573556 57.575648 Columns 13 through 15 58.071464 60.436692 61.179436 Columns 16 through 18 62.528324 61.713944 63.928192 Column 19 64.9668847.模型(3)的计算结果y1 =8.1390272 8.420648 7.62634728.7747264 8.5942948 9.08020328.8046736 9.1307912 8.7624129.3493532 8.7740328 9.6258769.823 10.1380848 10.302555210.4502936 10.3686464 10.664149610.9131168;x1 =49.459836 50.4516 45.44336453.131208 51.6882 54.45957253.465584 55.153296 53.2450656.371596 52.573556 57.57564858.071464 60.436692 61.17943662.528324 61.713944 63.92819264.966884;x2=ones(19,1),x1;b,bint,r,rint,stats=regress(y1,x2)输出结果:b = -0.391413728791626 0.173739484728835bint = -0.743959505289538 -0.0388679522937137 0.167481672152938 0.179997297304732r = -0.0626854926210676 0.0466267410463246 0.122454283086727 -0.0648485721489394 0.00542729423064792 0.00983895095872533 -0.0929956860946302 -0.060100299345299 -0.0969435599642878 -0.0532051135904403 0.0313439989890654 0.0141263123428352 0.125107495982524 0.0292588019963098 0.0646852421508761 -0.0219314639260322 0.0379112976474367 -0.0512878089344184 0.0172175781936197rint = -0.194112737017012 0.0687417517748767 -0.0885336593085636 0.181787141401213 0.0161292648746043 0.228779301298849 -0.201462271956211 0.0717651276583323 -0.133792997199822 0.144647585661118 -0.131797031575754 0.151474933493204 -0.225302669864897 0.0393112976756366 -0.1985101568317 0.0783095581411017 -0.228268383451548 0.0343812635229727 -0.192519727444524 0.0861095002636433 -0.107973506382257 0.170661504360388 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8.89770056416 9.19092364704 8.8593867244 Columns 10 through 12 9.40259108904 8.74271961944 9.61178308352 Columns 13 through 15 9.69