高中数学一轮复习微专题第⑤季导数与定积分：第5节导数与函数的极值.doc

第5节 导数与函数的极值【基础知识】1.函数的极值(1)函数的极小值：函数yf(x)在点xa的函数值f(a)比它在点xa附近其它点的函数值都小，f(a)0，而且在点xa附近的左侧f(x)0，右侧f(x)0，则点a叫做函数yf(x)的极小值点，f(a)叫做函数yf(x)的极小值(2)函数的极大值：函数yf(x)在点xb的函数值f(b)比它在点xb附近的其他点的函数值都大，f(b)0，而且在点xb附近的左侧f(x)0，右侧f(x)0，则点b叫做函数yf(x)的极大值点，f(b)叫做函数yf(x)的极大值极小值点，极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值【规律技巧】1.求函数f(x)极值的步骤：(1)确定函数的定义域；(2)求导数f(x)；(3)解方程f(x)0，求出函数定义域内的所有根；(4)列表检验f(x)在f(x)0的根x0左右两侧值的符号，如果左正右负，那么f(x)在x0处取极大值，如果左负右正，那么f(x)在x0处取极小值【典例讲解】例1已知函数f(x)exax(a为常数)的图象与y轴交于点A，曲线yf(x)在点A处的切线斜率为1.(1)求a的值及函数f(x)的极值；(2)证明：当x0时，x20时，f(x)()A有极大值，无极小值B有极小值，无极大值C既有极大值又有极小值D既无极大值也无极小值【答案】D【练习巩固】1、对二次函数（为非零常数），四位同学分别给出下列结论，其中有且仅有一个结论是错误的，则错误的结论是（ ）A是的零点 B1是的极值点C3是的极值 D. 点在曲线上【答案】A2函数f(x)x33x21在x_处取得极小值【解析】f(x)3x26x，令f(x)0，得x10，x22，当x(，0)时，f(x)0，当x(0,2)时，f(x)0，显然当x2时f(x)取极小值【答案】23已知函数yx3bx2(2b3)x2b在R上不是单调减函数，则b的取值范围是_【解析】yx22bx(2b3)，要使原函数在R上单调递减，应有y0恒成立，4b24(2b3)4(b22b3)0，1b3，故使该函数在R上不是单调减函数的b的取值范围是b3.【答案】(，1)(3，)4设函数f(x)ax33x2，(aR)，且x2是yf(x)的极值点，求函数g(x)exf(x)的单调区间【解析】f(x)3ax26x3x(ax2)因为x2是函数yf(x)的极值点所以f(2)0，即6(2a2)0，因此a1，经验证，当a1时，x2是函数f(x)的极值点，所以g(x)ex(x33x2)，g(x)ex(x33x23x26x)ex(x36x)x(x)(x)ex.因为ex0，所以yg(x)的单调增区间是(，0)和(，)；单调减区间是(，)和(0，)5已知函数f(x)x3ax1(1)若f(x)在(，)上单调递增，求实数a的取值范围；(2)是否存在实数a，使f(x)在(1,1)上单调递减？若存在，求出a的取值范围；若不存在试说明理由6设函数f(x)ln x在内有极值(1)求实数a的取值范围；(2)若x1(0,1)，x2(1，)求证：f(x2)f(x1)e2.注：e是自然对数的底数【解析】(1)解易知函数f(x)的定义域为(0,1)(1，)，由函数f(x)在内有极值，可知方程f(x)0在内有解，令g(x)x2(a2)x1(x)(x)不妨设0e，又g(0)10，所以g1e2.(2)证明由