1231角平分线的性质

角平分线的性质 复习提问 1 角平分线的概念 2 点到直线距离的意义 一条射线 把一个角 分成两个相等的角 这条射线叫做这个角的平分线 下列两图中 能表示直线l1上一点P到直线l2的距离的是 图1 PA 下列两图中 能表示角的平分线上的一点P到角的边上的距离的是 PM 如右图 是一个平分角的仪器 其中AB AD BC DC 将点A放在角的顶点 AB和AD沿着角的两边放下 沿AC画一条射线AE AE就是角平分线 你能说明它的道理吗 思考1 A C D B E SSS 已知 AOB 求作 AOB的平分线 作法 1 以O为圆心 适当长为半径作弧 交OA于M 交OB于N 2 分别以M N为圆心 大于1 2MN的长为半径作弧 两弧在 AOB的内部交于点C 3 作射线OC 射线OC即为所求 O M N A B C 课本P50练习1 1 平分平角 AOB2 通过上面的步骤 得到射线OC以后 把它反向延长得到直线CD 直线CD与直线AB是什么关系 3 结论 作平角的平分线即可平分平角 由此也得到过直线上一点作这条直线的垂线的方法 思考2 P48 已知 如图 AOC BOC 点P在OC上 PD OA PE OB 垂足分别是D E 求证 PD PE 证明 PD OA PE OB 已知 PDO PEO 90 垂直的定义 在 PDO和 PEO中 PD PE 对应边相等 PDO PEO AOC BOCOP OP PDO PEO AAS 问题探究 证明 角的平分线上的点到角的两边距离相等 证明几何命题的一般步骤 1 明确命题的已知和求证2 根据题意 画出图形 并用数学符号表示已知和求证 3 经过分析 找出由已知推出求证的途径 写出证明过程 角平分线的性质 角的平分线上的点到角的两边的距离相等 性质应用所具备的条件 性质的作用 证明线段相等 性质的书写格式 OP是的平分线 PD PE 角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等 推理的理由有三个 必须写完全 不能少了任何一个 1 如图 AD平分 BAC 已知 角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等 BDCD 练习 2 如图 DC AC DB AB 已知 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等 BDCD 3 AD平分 BAC DC AC DB AB 已知 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等 不必再证全等 4 ABC中 C 900 AD平分 CAB 且BC 8 BD 5 求点D到AB的距离是多少 A B C D E 5 如图所示 ABC中 AB AC M为BC中点 MD AB于D ME AC于E 求证 MD ME 如图 在 ABC中 C 90 AD是 BAC的平分线 DE AB于E F在AC上 BD DF 求证 CF EB 分析 要证CF EB 首先我们想到的是要证它们所在的两个三角形全等 即Rt CDF Rt EDB 现已有一个条件BD DF 斜边相等 还需要我们找什么条件 DC DE 因为角的平分线的性质 再用HL证明 试试自己写证明 你一定行 如图 由于点D 于点E PD PE 可以得到什么结论 议一议 到一个角的两边的距离相等的点 在这个角的平分线上 已知 如图 垂足分别是A B PD PE 求证 点P在的角平分线上 到角的两边的距离相等的点在角的平分线上 已知 如图 垂足分别是D E PD PE 求证 点P在的角平分线上 证明 作射线OP 点P在角的平分线上 在Rt PDO和Rt PEO中 HL 全等三角形的对应角相等 OP OP 公共边 PD PE 已知 判定 性质2的应用书写格式 OP是的平分线 PD PE 到一个角的两边的距离相等的点 在这个角的平分线上 性质1在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等 性质2到一个角的两边的距离相等的点 在这个角的平分线上 PD PE 用途 证线段相等 用途 判定一条射线是角平分线 1 1 2 DC AC DE AB 2 DC AC DE AB DC DE 1 2 DC DE 到角的两边的距离相等的点 在角平分线上 角平分线上的点到角的两边的距离相等 A N B C P M 知识应用 1 如图 ABC的角的平分线BM CN相交于点P 求证 点P到三边AB BC CA的距离相等 想一想 点P在 A的平分线上吗 这说明三角形的三条角平分线有什么关系 2 直线表示三条相互交叉的公路 现要建一个货物中转站 要求它到三条公路的距离相等 则可供选择的地址有 A 一处B 两处C 三处D 四处 3 如图所示 PB AB PC AC 且PB PC D是AP上一点 求证 BDP CDP 小结 3角的平分线的性质定理1 定