2019_2020学年高中数学第一章解三角形1.2.2三角形中的几何计算练习（含解析）新人教A版必修5.docx

第6课时三角形中的几何计算 知识点一 三角形的面积问题1已知三角形的一边长为14，这条边所对的角为60，另两条边之比为85，则这个三角形的面积为_答案40解析设另两条边分别为8t，5t，t0，则142(8t)2(5t)228t5tcos60，得49t2142，t2，故S1610sin60402在ABC中，a，b，c为它的三边，且三角形的面积为，则角C等于_答案解析SabsinC，sinC又cosC，sinCcosCC3在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，cosA，B60，b(1)求sinC的值；(2)求ABC的面积解(1)角A，B，C为三角形内角，且B60，cosAC120A，sinAsinCsin(120A)cosAsinA(2)由(1)知，sinA，sinC又B60，b，由正弦定理，得a，SABCabsinC4在ABC中，内角A，B，C对边的边长分别是a，b，c，已知c2，C(1)若ABC的面积等于，求a，b；(2)若sinCsin(BA)2sin2A，求ABC的面积解(1)由余弦定理及已知条件，得a2b2ab4又因为ABC的面积等于，所以absinC，得ab4，联立方程组解得a2，b2(2)由题意，得sin(BA)sin(BA)4sinAcosA，即sinBcosA2sinAcosA当cosA0时，A，B，a，bABC的面积Sb当cosA0时，sinB2sinA，由正弦定理，知b2a，联立方程组解得ABC的面积SabsinC知识点二 三角形中的几何计算5如图，在平面四边形ABCD中，AB1，BC1，AD，ABC120，DAB75，则CD()A B2 C2 D1答案A解析如图，过点D作DEAB于E，过C作CFAB交AB的延长线于F，则DECF，CBF60，DEADsinDABsin(4530)，CFBCsinCBF(1)，所以四边形DEFC是矩形，CDEFABAEBF，因为AEADcosDABcos(4530)，BFBCcosCBF(1)，所以CD1故选A6在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，cos2B5cos(AC)2(1)求角B的大小；(2)若cosA，ABC的面积为10，求BC边上的中线长解(1)由题易知2cos2B15cosB2，即2cos2B5cosB30，解得cosB或cosB3(舍去)又0B，B(2)cosA，sinASABCbcsinA10，bc35由正弦定理，得，又sinsinAcosA，5b7c，由知，b7，c5，由余弦定理，得a 8，BC边上的中线长为 7在锐角ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，又c，b4，且BC边上的高h2(1)求角C ；(2)求边a的长解(1)由于 ABC为锐角三角形，过A作ADBC于D点，sinC，则C60(2)由余弦定理，可知c2a2b22abcosC，则()242a224a，即a24a50所以a5或a1(舍去)因此所求角C60，边a长为5易错点一 解三角形时忽视解的个数8已知ABC中，B30，AB2，AC2，求ABC的面积易错分析三角形内角的正弦值都是正数，而这个内角可能是锐角，也可能是钝角，该题求出sinC后易丢掉C120的情况漏解面积解由正弦定理，得sinCABAC，C60或C120当C60时，A90，SABCABAC2；当C120时，A30，SABCABACsinA故ABC的面积为2或易错点二 忽略角的隐含范围9在ABC中，B3A，求的取值范围易错分析解三角形时角的范围至关重要，该题中易由A，B为三角形内角得A(0，60)致错，所以审题时要仔细挖掘隐含条件解由正弦定理得cos2A2cos2A4cos2A1ABC180，B3AAB4A180，0A45cosA1，14cos2A13，13 一、选择题1已知圆的半径R4，a，b，c为该圆的一个内接三角形的三条边，若abc16，则该三角形的面积为()A2 B8 C D答案C解析SabsinCab故选C2已知三角形的两边之差为2，夹角的余弦为，面积为6，那么这个三角形的两边分别为()A1和3 B2和4 C3和5 D4和6答案C解析设该三角形的某两边为b，c，夹角为A依题意有cb2，cosA，则sinA又SABCbcsinA6，所以bc15又cb2，故c5，b3故选C3平行四边形中，AC，BD，周长为18，则平行四边形面积是()A16 B175 C18 D1853答案A解析设两邻边ADb，ABa，BAD，则ab9，a2b22abcos17，a2b22abcos(180)65解得：a5，b4，cos或a4，b5，cos，SABCDabsin164已知方程x2sinA2xsinBsinC0有重根，则ABC的三边a，b，c满足关系式()Abac Bb2acCabc Dcab答案B解析由0，得4sin2B4sinAsinC0结合正弦定理得b2ac故选B5 如图，平面上有四个点A，B，P，Q，其中A，B为定点，且AB，P，Q为动点，且满足APPQQB1，又APB和PQB的面积分别为S和T，则S2T2的最大值为()A B1 C D答案D解析PB2AP2AB22APABcosAPQ2BQ22PQBQcosQ，即312cosA112cosQ，所以cosQcosA1，所以S2T222sin2Asin2Q(1cos2A)(1cos2Q)cosA2，所以当cosA时，S2T2取得最大值故选D二、填空题6在ABC中，已知a8，c18，SABC36，则B等于_答案或解析由SacsinB得818sinB36，sinB又B(0，)，B或7在ABC中，已知ab4，ac2b，且最大角为120，则该三角形的周长为_答案30解析ab4，ab又ac2b，b4c2bb4c，abc最大角为A，A120cosAb2c2a2bcb2(b4)2(b4)2b(b4)，即b2b2168bb2168bb24bb210b0，b10，a14，c6，三角形的周长为abc308在ABC中，a2b2bccosAaccosB_答案0解析由余弦定理cosA，得bccosA(b2c2a2)，同理accosB(a2c2b2)a2b2bccosAaccosBa2b2(b2c2a2)(a2c2b2)a2b2b2a20 三、解答题9在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且(accosB)bsinC(1)求角C的大小；(2)若ABC的面积S10，ab13，求sinAsinB及cosAcosB的值解(1)(accosB)bsinCsin(BC)sinCcosBsinBsinC，sinBcosCsinBsinC，又在ABC中，sinB0，tanCC60(2)S10absin60ab40，由余弦定理得c2(ab)22ab2abcosC(ab)23ab49，c7，由正弦定理得sinAsinBsin260，cosAcosBcos(AB)sinAsinBcosC10在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c已知cosC(1)若，求ABC的面积；(2)设向量x2sin，ycosB，cos，且xy，求sin(B