2019_2020学年新教材高中数学第六课考点突破素养提升新人教A版必修第一册.docx

第六课考点突破素养提升素养一数学运算角度1三角函数的定义域、值域问题【典例1】(1)函数y=的定义域为_,值域为_.【解析】由题意得cos x,所以2k-蟺3x2k+蟺3,kZ.即函数的定义域是,kZ.此时cos x,y,即y,所以值域为.答案:,kZ(2)已知f(x)=sin,xR.求函数f(x)在区间上的最小值和最大值.【解析】因为当2k-蟺22x-蟺42k+蟺2(kZ),即k-蟺8xk+(kZ)时,函数f(x)=sin单调递增;当2k+蟺22x-蟺42k+(kZ),即k+xk+(kZ)时,函数单调递减,所以f(x)=sin在区间上为增函数,在区间上为减函数.又f=0,f=,f=-1.故函数f(x)在区间上的最大值为,最小值为-1.【类题通】(1)求三角函数的定义域问题关键是先列出保证函数式有意义的三角不等式,然后利用三角函数的图象或者单位圆中三角函数线求解.(2)求三角函数的值域常用“整体替换法”或者“换元法”.【加练固】定义运算ab为ab=例如12=1,则函数f(x)=sin xcos x的值域为()A.-1,1B.C.D.【解析】选C.根据题设中的新定义,得f(x)=作出函数f(x)在一个周期内的图象,如图可知函数f(x)的值域为.角度2利用三角函数的性质求最值【典例2】(1)(2018全国卷I)已知函数fx=2cos2x-sin2x+2,则()A.fx的最小正周期为,最大值为3B.fx的最小正周期为,最大值为4C.fx的最小正周期为2,最大值为3D.fx的最小正周期为2,最大值为4【解析】选B.f(x)=2cos2x-(1-cos2x)+2=3cos2x+1=,所以f(x)最小正周期为,最大值为4.(2)已知函数y=asin+b在x上的值域为-5,1,求a,b的值.【解析】因为x,所以2x+蟺6,sin.所以当a0时,解得当a0时,解得所以a,b的取值分别是4,-3或-4,-1.【类题通】(1)对于复杂的三角函数化简问题,适当选用三角函数的和差公式、倍角公式对函数解析式进行化简,再通过三角函数的相关性质求出函数的周期与最值,在解题的过程中,要注意应用余弦的倍角公式将式子降次升角,得到最简结果.(2)利用y=Asin(x+)+k求值域时要注意角的取值范围对函数式取值的影响.【加练固】已知|x|蟺4,求函数f(x)=cos2x+sin x的最小值.【解析】y=f(x)=cos2x+sin x=-sin2x+sin x+1.令t=sin x,因为|x|蟺4,所以-sin x.则y=-t2+t+1=-+,所以当t=-,即x=-蟺4时,f(x)有最小值,且最小值为-+=.角度3给角求值问题【典例3】求值:.【分析】切化弦,然后通分,利用和差公式,约去非特殊角,得到结果.【解析】原式=2.【类题通】给角求值问题,主要是利用所学的诱导公式、同角三角函数的基本关系式、两角和与差的正弦、余弦、正切公式及二倍角公式等,化非特殊角为特殊角,在转化过程中要注意上述公式的正用及逆用.【加练固】计算:sin 50(1+tan 10)的值.【解析】原式=sin 50=sin 50=sin 502=sin 50=cos 40=1.角度4给值求值问题【典例4】(1)设为锐角,若cos=,求sin的值.(2)已知0蟺2,且cos=-,sin=,求cos(+)的值.【解析】(1)因为为锐角且cos=,所以sin=.所以sin=sin=sin 2cos蟺4-cos 2sin蟺4=sincos-=-=-=.(2)因为0蟺2,所以-蟺4伪2-蟺2,蟺4-尾2,所以cos=,sin=,所以cos=cos=coscos+sinsin=+=.所以cos(+)=2cos2-1=2-1=-.【类题通】利用两角和与差的正弦、余弦、正切公式和倍角公式解决给值求值问题时,解决的关键是把所求角用已知角表示.其常见题型一般有两种:(1)当已知角有两个时,所求角一般表示为两个已知角的和或差的形式.(2)当已知角有一个时,此时应着眼于所求角与已知角的和或差的关系,然后应用诱导公式把所求角变成已知角.【加练固】已知cos+sin =,求sin.【解析】cos+sin =cos cos蟺6+sin sin蟺6+sin =cos +sin =sin=.所以sin=,所以sin=sin=-sin=-.角度5给值求角问题【典例5】已知0蟺4,0蟺4,且3sin =sin(2+),4tan伪2=1-tan2伪2,求+的值.【分析】本题主要考查三角函数式的恒等变形及已知三角函数值求角,因为2+=+(+),=(+)-,可先将条件式3sin =sin(2+)展开后求+的正切值.【解析】因为3sin =sin(2+),即3sin(+-)=sin(+),整理得2sin(+)cos =4cos(+)sin .即tan(+)=2tan .又4tan伪2=1-tan2伪2,所以tan =,tan(+)=2tan =2=1.又0蟺4,0蟺4,所以+,所以+=蟺4.【类题通】已知三角函数值求角问题,通常分两步:(1)先求角的某个三角函数值(由题中已知名称和范围确定),确定求所求角的哪种三角函数值,要根据具体题目,结合所给角的范围确定.(2)根据角的范围确定角及角的范围.必要时,可利用三角函数值缩小角的范围.素养二逻辑推理角度1y=Asin (x+)的图象【典例6】(2019黄石高一检测)已知曲线C1:y=cos x,C2:y=sin,则下面结论正确的是()A.把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移蟺6个单位长度,得到曲线C2B.把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移蟺12个单位长度,得到曲线C2C.把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移蟺6个单位长度,得到曲线C2D.把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移蟺12个单位长度,得到曲线C2【解析】选D.因为y=sin=cos=cos,所以曲线C1:y=cos x上各点的横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变,得到曲线y=cos 2x,再把得到的曲线y=cos 2x向左平移蟺12个单位长度,得到曲线y=cos 2=cos.【类题通】1.函数y=sin x的图象变换到y=Asin(x+),xR图象的两种方法2.对称变换(1)y=f(x)的图象y=-f(x)的图象(2)y=f(x)的图象y=f(-x)的图象(3)y=f(x)的图象y=-f(-x)的图象【加练固】将函数y=f(x)的图象向左平移1个单位长度,纵坐标不变,横坐标缩短到原来的蟺3倍,然后向上平移1个单位长度,得到函数y=sin x的图象.(1)求f(x)的最小正周期和单调递增区间.(2)若函数y=g(x)与y=f(x)的图象关于直线x=2对称,求当x0,1时,函数y=g(x)的最小值和最大值.【解析】(1)函数y=sin x的图象向下平移1个单位长度得y=sin x-1,再将得到的图象上的点的横坐标伸长为原来的3蟺倍,得到y=sin 蟺3x-1的图象,然后向右平移1个单位长度,得到y=sin-1的图象,所以函数y=f(x)的最小正周期为T=6.由2k-蟺2蟺3x-蟺32k+蟺2,kZ,得6k-x6k+,kZ,所以函数y=f(x)的单调递增区间是,kZ.(2)因为函数y=g(x)与y=f(x)的图象关于直线x=2对称,所以当x0,1时,y=g(x)的最值即为x3,4时,y=f(x)的最值.因为当x3,4时,蟺3x-蟺3,所以sin,所以f(x).所以当x0,1时,y=g(x)的最小值是-1,最大值为.角度2三角函数式的化简问题【典例7】化简:-.【解析】原式=+=+=+=+= .【类题通】三角函数式的化简,主要有以下几类:(1)对三角函数的和式,基本思路是降幂、消项和逆用公式;(2)对三角函数的分式,基本思路是分子与分母的约分和逆用公式,最终变成整式或较简式子;(3)对二次根式,则需要运用倍角公式的变形形式.在具体过程中体现的则是化归的思想,是一个“化异为同”的过程,涉及切弦互化,即“函数名”的“化同”;角的变换,即“单角化倍角”“单角化复角”“复角化复角”等具体手段,以实现三角函数式的化简.【加练固】化简:=()A.tan B.tan 2C.1D.【解析】选B.原式=tan 2.角度3三角恒等式的证明问题【典例8】证明:=tan .【证明】方法一:左边=tan =右边.方法二:左边=tan =右边.方法三:左边=tan =右边.【类题通】三角函数等式的证明包括无条件三角函数等式的证明和有条件三角函数等式的证明.对于无条件三角函数等式的证明,要认真分析等式两边三角函数式的特点,找出差异,化异角为同角,化异次为同次,化异名为同名,寻找证明的突破口.对于有条件三角函数等式的证明,要认真观察条件式与被证式的区别与联系,灵活使用条件等式,通过代入法、消元法等方法进行证明.【加练固】求证:tan-tanx2=.【证明】=-=tan-tanx2.素养三直观想象角度三角函数图象的应用【典例9】(1)(2018北京高考)在平面直角坐标系中,是圆x2+y2=1上的四段弧(如图),点P在其中一段上,角以Ox为始边,OP为终边,若tan cos 0,sin 0,tan =ATsin =QP,不符合题意,点P不能在,上;若点P在上,tan 0,cos 0,|cos |=|OQ|tan |=|AT|,所以tan cos sin ,符合题意;若点P在圆弧GH上,cos 0tan ,不符合题意,综上,得P所在圆弧是.(2)(2019菏泽高一检测)当0x1时,不等式sin蟺x2kx恒成立,则实数k的取值范围是_.【解析】作出函数y=sin蟺x2,y=kx的函数图象,如图所示.当k0时,显然成立;当00,0,|a|).由已知平均数为800,最高数与最低数差为200,数量变化周期为12个月,故振幅A=100,=蟺6,b=800.又因为7月1日种群数量达到最高,所以蟺66+a=蟺2+2k(kZ).又因为|a|,所以a=-蟺2.故种群数量y关于时间t的函数解析式为y=800+100sin.(2)种群数量关于时间变化的草图如图.【类题通】三角函数模型构建的步骤1.收集数据,观察数据,发现是否具有周期性的重复现象,确定适当的函数模型.2.利用三角函数模型解决实际问题.3.根据问题的实