1.3.2函数的极值与导数(完美版)ppt课件.ppt

函数的极值与导数 1 f x 0 f x 0 1 定义 一般地 设函数y f x 在某个区间 a b 内有导数 如果在这个区间内f x 0 那么函数y f x 在为这个区间内的增函数 如果在这个区间内f x 0 那么函数y f x 在为这个区间内的减函数 知识回顾 如果在某个区间内恒有 则为常数 2 2 求函数单调性的一般步骤 求函数的定义域 求函数的导数f x 解不等式f x 0得f x 的单调递增区间 解不等式f x 0得f x 的单调递减区间 3 关注用导数本质及其几何意义解决问题 3 思考 观察下图 当t t0时距水面的高度最大 那么函数h t 在此点的导数是多少呢 此点附近的图象有什么特点 相应地 导数的符号有什么变化规律 4 观察图象中 点a和点b处的函数值与它们附近点的函数值有什么的大小关系 5 新课讲解 函数的极值 观察右下图为函数y 2x3 6x2 7的图象 从图象我们可以看出下面的结论 函数在X 0的函数值比它附近所有各点的函数值都大 我们说f 0 是函数的一个极大值 函数在X 2的函数值比它附近所有各点的函数值都小 我们说f 2 是函数的一个极小值 y 0 6 极值的定义 点a叫做函数y f x 的极小值点 函数值f a 称为函数y f x 的极小值 点b叫做函数y f x 的极大值点 函数值f b 称为函数y f x 的极大值 极大值点极小值点统称为极值点 极大值和极小值统称为极值 注 极值点指的是自变量的值 极值指的是函数值 7 函数极值是在某一点附近的小区间内定义的 是局部性质 因此一个函数在其整个定义区间上可能有多个极大值或极小值 并对同一个函数来说 在某一点的极大值也可能小于另一点的极小值 8 观察函数y f x 的图像 探究1 图中有哪些极值点 极值点唯一吗 2 极大值一定比极小值大么 9 结论 极值点处导数值为0 探究函数y f x 在极值点的导数值为多少 10 探究极值点两侧导数符号有何规律 f x 0 x1 极大值点两侧 极小值点两侧 f x 0 f x 0 f x 0 x2 11 结论若x0满足f x 0 且在x0的两侧的导数异号 则x0是f x 的极值点 f x0 是极值 如果f x 在x0两侧满足 左正右负 则x0是f x 的极大值点 f x0 是极大值 如果f x 在x0两侧满足 左负右正 则x0是f x 的极小值点 f x0 是极小值 极大值与极小值统称为极值 从曲线的切线角度看 曲线在极值点处切线的斜率为0 并且 曲线在极大值点左侧切线的斜率为正 右侧为负 曲线在极小值点左侧切线的斜率为负 右侧为正 12 如上左图所示 若x0是f x 的极大值点 则x0两侧附近点的函数值必须小于f x0 因此 x0的左侧附近f x 只能是增函数 即 x0的右侧附近f x 只能是减函数 即 同理 如上右图所示 若x0是f x 极小值点 则在x0的左侧附近f x 只能是减函数 即 在x0的右侧附近只能是增函数 即 13 练习 下图是导函数的图象 试找出函数的极值点 并指出哪些是极大值点 哪些是极小值点 a b x y x1 O x2 x3 x4 x5 x6 14 2 函数在某点取得极值的必要条件和充分条件分别是什么 探究1 导数值为0的点一定是函数的极值点吗 可导函数的极值点一定是它导数为零的点 反之函数的导数为零的点 不一定是该函数的极值点 例如 函数y x3 在点x 0处的导数为零 但它不是极值点 原因是函数在点x 0处左右两侧的导数都大于零 导数为零的点仅是该点为极值点的必要条件 其充分条件是在这点两侧的导数异号 15 如何列表 列表中的基本元素有哪些 区间分配依据是什么 各区间对应导数的符号如何判定 例1 求函数的极值 解 令 解得x1 2 x2 2 当x变化时 y的变化情况如下表 因此 当x 2时有极大值 并且 y极大值 28 3 而 当x 2时有极小值 并且 y极小值 4 3 16 1 确定函数的定义域 求导数 2 求方程的根 3 用方程的根 顺次将函数的定义域分成若干小开区间 并列成表格 4 检查在方程根左右的值的符号 如果左正右负 那么f x 在这个根处取得极大值 如果左负右正 那么f x 在这个根处取得极小值 f x f x 0 f x 0 f x 求解函数极值的一般步骤 17 故当x a时 f x 有极大值f a 2a 当x a时 f x 有极小值f a 2a 例2 求函数的极值 解 函数的定义域为 令 解得x1 a x2 a a 0 当x变化时 f x 的变化情况如下表 18 练习 求函数的极值 解 令 0 解得x1 1 x2 1 当x变化时 y的变化情况如下表 因此 当x 1时有极大值 并且 y极大值 3 而 当x 1时有极小值 并且 y极小值 3 19 20 练习 已知函数f x x3 ax2 bx a2在x 1处有极值为10 求a b的值 解 3x2 2ax b 0有一个根x 1 故3 2a b 0 又f 1 10 故1 a b a2 10 由 解得或 当a 3 b 3时 此时f x 在x 1处无极值 不合题意 当a 4 b 11时 3 111时 此时x 1是极值点 从而所求的解为a 4 b 11 21 练习 已知f x ax5 bx3 c在x 1处有极值 且极大值为4 极小值为0 试确定a b c的值 解 由题意 应有根 故5a 3b 于是 1 设a 0 列表如下 由表可得 即 又5a 3b 解得a 3 b 5 c 2 22 2 设a 0 列表如下 由表可得 即 又5a 3b 解得a 3 b 5 c 2 23 例4 已知 1 证明 f x 恰有一个极大值点和一个极小值点 2 当f x 的极大值为1 极小值为 1时 求a b的值 解 1 令 得 ax2 2bx a 0 4b2 4a2 0 故有不相等的两实根 设 又设g x ax2 2bx a 由于 a 0 g x 的图象开口向下 g x 的值在 的右正左负 在 的左正右负 注意到与g x 的符号相同 可知 为极小值点 为极大值点 24 2 由f 1和f 1可得 两式相加 并注意到 2b a 于是有 从而方程可化为x2 1 它的两根为 1和 1 即 1 1 由 故所求的值为a 2 b 0 25 例5 已知函数f x 满足条件 当x 2时 当x 2时 求证 函数y f x2 在处有极小值 证 设g x f x2 则 故当时 x2 2 由条件 可知 即 当时 x2 2 由条件 可知 即 又当时 所以当时 函数y f x2 取得极小值 为什么要加上这一步 26 例6 直线y a与函数f x x3 3x的图象有相异的三