双线和标准方程

3 1双曲线及其标准方程 北师大版高中数学 学习目标 1 掌握双曲线定义 标准方程及其求法 2 掌握焦点 焦距 焦点位置与方程关系 3 认识双曲线的变化规律 情境设置 椭圆的定义把平面内与两个定点F1 F2的距离和等于常数 大于 F1F2 的点轨迹叫做椭圆 这两个定点叫做椭圆的焦点 两焦点的距离叫做椭圆的焦距 椭圆的标准方程x2 a2 y2 b2 1或x2 b2 y2 a2 1 a b 0 根据椭圆的标准方程如何确定焦点的位置 哪个二次项的分母大 焦点就在相应的哪个坐标轴上 求椭圆标准方程的方法是什么 待定系数法求椭圆标准方程的步骤 确定焦点的位置 定方程的形式 根据条件求a b 关键 探索研究 如果把椭圆定义中的 距离之和 改为 距离之差的绝对值 曲线是什么 即 把平面内与两个定点F1 F2的距离的差的绝对值等于常数的点的轨迹 是什么 双曲线的定义 把平面内与两个定点F1 F2的距离的差的绝对值等于常数 小于 F1F2 的点的轨迹叫做双曲线 这这两个定点叫做双曲线的焦点 两焦点的距离叫做双曲线的焦距 与椭圆定义对照 比较它们有什么相同点与不同点 双曲线定义中 差的绝对值 只说 差 行不行 为什么 椭圆标准方程是如何推导的 双曲线的标准方程 建立直角坐标系xOy 使x轴经过点F1 F2 并且点O与线段F1F2的中点重合 设M x y 是双曲线上任意一点 双曲线的焦距为2c c 0 那么 焦点F1 F2的坐标分别是 c 0 c 0 又设M与F1 F2的距离的差的绝对值等于常数2a 由定义可知 双曲线就是集合 将方程 化简得 c2 a2 x2 a2y2 a2 c2 a2 由双曲线的定义可知 2c 2a 即c a 所以c2 a2 0 令c2 a2 b2 其中b 0 代入上式得 a 0 b 0 双曲线的标准方程的形式 形式一 a 0 b 0 说明 此方程表示焦点在x轴上的双曲线 焦点是F1 c 0 F2 c 0 这里c2 a2 b2 形式二 a 0 b 0 说明 此方程表示焦点在y轴上的双曲线 焦点是F1 0 c F2 0 c 这里c2 a2 b2 例1求适合下列条件的双曲线的标准方程 a 4 c 5 焦点在x轴上 x2 16 y2 9 1 焦点为 5 0 5 0 且b 3x2 16 y2 9 1 a 4 经过点 x2 9 y2 16 1 焦点在y轴上 且过点 x2 9 y2 16 1 例2 课本例 已知双曲线两个焦点的坐标为F1 5 0 F2 5 0 双曲线上一点P到F1 F2的距离的差的绝对值等于6 求双曲线的标准方程 求双曲线标准方程的方法是什么 待定系数法求双曲线标准方程的步骤 确定焦点的位置 定方程的形式 根据条件求a b 关键 c2 a2 b2 例3 证明椭圆x2 25 y2 9 1与双曲线x2 15y2 15的焦点相同 例4 已知方程表示焦点在y轴上的双曲线 求k的取值范围 随堂练习 已知方程表示双曲线 则实数m的取值范围是 m 2或m 1 求适合下列条件的双曲线的标准方程 a 4 b 3 焦点在x轴上 x2 16 y2 9 1 焦点为 0 6 0 6 经过点 2 5 x2 16 y2 20 1 焦点在x轴上 经过点 方法1 分类讨论设方程x2 a2 y2 b2 1 a 0 b 0 点的坐标代入得a2 1 b2 3设方程 x2 b2 y2 a2 1 a 0 b 0 点的坐标代入无解方法2 设方程mx2 ny2 1 mn 0 点的坐标代入得m 1 n 1 3 归纳总结 数学思想方法 数形结合 待定系数法 分类讨论掌握双曲线的定义及其标准方程的推导 并利用焦点 焦距与方程关系确定双曲