2019-2020学年高中数学 第二章 点、直线、平面之间的位置关系 2.1.1 平面课件 新人教A版必修2

2 1空间点 直线 平面之间的位置关系2 1 1平面 1 平面的概念 1 几何里所说的 平面 是从课桌面 黑板面 海面这样的一些物体中抽象出来的 几何里的平面是 的 2 平面的画法 水平放置的平面通常画成一个 它的锐角通常画成45 且横边长等于其邻边长的 如图 无限延展 平行四边形 2倍 如果一个平面被另一个平面遮挡住 为了增强它的立体感 把被遮挡部分用 画出来 如图 3 平面的表示法图 的平面可表示为平面 平面abcd 平面ac或平面bd 虚线 2 点 线 面之间的关系 1 直线在平面内的概念如果直线l上的 都在平面 内 就说直线l在平面 内 或者说平面 经过直线l 所有点 2 一些文字语言与数学符号的对应关系 a l a l a a l l 3 平面的基本性质及作用 两点 l 有且 只有 1 判一判 正确的打 错误的打 1 平行四边形是一个平面 2 两个平面的交线可能是一条线段 3 空间图形中先画的线是实线 后画的线是虚线 答案 1 2 3 2 做一做 请把正确的答案写在横线上 1 已知平面 l abc的三边中 ab ac 则顶点a与直线l的位置关系是 2 下列命题 课桌面是平面 8个平面重叠起来要比6个平面重叠起来厚 有一个平面的长是50m 宽是20m 平面是绝对的平 无厚度 可以无限延展的抽象的数学概念 其中正确的命题序号是 答案 1 a l 2 3 思一思 若平面 与平面 相交于直线l 点a b既在平面 内又在平面 内 则点a b与l什么关系 解析 因为a b 且a b 所以a b l 所以点a b在 与 的交线l上 例1 用符号语言表示下列语句 并画出图形 1 三个平面 相交于一点p且平面 与平面 相交于pa 平面 与平面 相交于pb 平面 与平面 相交于pc 2 平面abd与平面bdc相交于bd 平面abc与平面adc相交于ac 三种语言之间的转换 解析 1 符号语言表示 p pa pb pc 图形表示 如图 2 符号语言表示 平面abd 平面bdc bd 平面abc 平面adc ac 图形表示 如图 8 1 用文字语言 符号语言表示一个图形时 首先仔细观察图形有几个平面 几条直线且相互之间的位置关系如何 试着用文字语言表示 再用符号语言表示 2 根据符号语言或文字语言画相应的图形时 要注意实线和虚线的区别 1 根据下列符号表示的语句 说明点 线 面之间的位置关系 并画出相应的图形 1 a b 2 l m a a l 3 p l p q l q 解析 1 点a在平面 内 点b不在平面 内 如图 2 直线l在平面 内 直线m与平面 相交于点a且点a不在直线l上 如图 3 直线l经过平面 外一点p和平面 内一点q 如图 例2 证明两两相交且不共点的三条直线在同一平面内 解题探究 点 线共面问题 解析 已知 如图所示 l1 l2 a l2 l3 b l1 l3 c 求证 直线l1 l2 l3在同一平面内 证法1 纳入平面法 l1 l2 a l1和l2确定一个平面 l2 l3 b b l2 又l2 b 同理可证c 又b l3 c l3 l3 直线l1 l2 l3在同一平面内 证法2 辅助平面法 l1 l2 a l1 l2确定一个平面 l2 l3 b l2 l3确定一个平面 a l2 l2 a a l2 l2 a 同理可证b b c c 不共线的三个点a b c既在平面 内 又在平面 内 平面 和 重合 即直线l1 l2 l3在同一平面内 8证明点 线共面问题的理论依据是公理1和公理2 常用方法有 1 先由部分点 线确定一个面 再证其余的点 线都在这个平面内 即用 纳入法 2 先由其中一部分点 线确定一个平面 其余点 线确定另一个平面 再证平面 与 重合 即用 同一法 3 假设不共面 结合题设推出矛盾 用 反证法 2 已知直线a b 直线l与a b都相交 求证 过a b l有且只有一个平面 证明 由已知a b 过a b有且只有一个平面 设a l a b l b a b 且a l b l l 即过a b l有且只有一个平面 例3 已知 abc在平面 外 ab p ac r bc q 如图 求证 p q r三点共线 点共线 线共点问题 解题探究 由题目可获取以下主要信息 三线ab ac bc在平面 外 三线均与面 相交 解答本题可先证明p q r三点在面abc内 又在面 内 再利用公理3从而证得三点共线 证明 ap ar a 直线ap与直线ar确定平面apr ab p ac r 平面apr 平面 pr b 平面apr c 平面apr bc 平面apr 又q 平面apr q q pr p q r三点共线 8 1 解决点共线问题的两种常用方法 一是首先找出两个平面 然后证明这些点都是这两个平面的公共点 根据公理3知这些点都在这两个平面的交线上 二是选择其中两点 确定一条直线 然后证明其他点也在这条直线上 2 证明三线共点问题的基本方法 先确定待证的三线中的两条相交于一点 再证明第三条直线也过该点 常结合公理3 证出该点在不重合的两个平面内 故该点在它们的交线 第三条直线 上 从而证明三线共点 3 已知平面 两两相交于三条直线l1 l2 l3 且l1 l2不平行 求证 l1 l2 l3相交于一点 证明 如图 l1 l2 l3 l1 l2 且l1 l2不平行 l1与l2必相交 设l1 l2 p 则p l1 p l2 p l3 l1 l2 l3相交于一点p 示例 空间中四点 如果任意三点都不共线 那么由这四个点可以确定多少个平面 错解 因为不共线的三点确定一个平面 所以由题设条件中的四点可确定四个平面 错因 忽略了四个点在同一个平面上的可能 正解 一个或者是四个 对于条件所给的点的位置关系考虑不全面 警示 空间中任意三点都不共线的四点有两种位置关系 一种是任意不共线的三点所确定的平面过第四个点 此时 这四个点只能确定一个平面 另一种是任意不共面的三点所确定的平面不过第四个点 此时 这四个点可确定四个平面 1 解决立体几何问题首先应过好三大语言关 即实现这三种语言的相互转换 正确理解集合符号所表示的几何图形的实际意义 恰当地用符号语言描述图形语言 将图形语言用文字语言描述出来 再转换为符号语言 文字语言和符号语言在转换的时候 要注意符号语言所代表的含义 由符号语言作出直观图时 要注意实虚线的标注 2 在处理点线共面 三点共线及三线共点问题时初步体会三个公理的作用 突出先部分再整体的思想 1 下列命题正确的是 a 一条直线和一点确定一个平面b 两条相交直线确定一个平面c 四点确定一个平面d 三条平行直线确定一个平面 答案 b 解析 根据一条直线和直线外的一点确定一个平面 知a不正确 b显然正确 c中四点不一定共面 故c不正确 三条平行直线不一定共面 故d不正确 故选b 2 两个平面若有三个公共点 则这两个平面 a 相交b 重合c 相交或重合d 以上都不对 答案 c 解析 若三个点在同一直线上 则两平面可能相交 若这三个点不在同一直线上 则这两个平面重合 3 在空间给出下列命题 设 表示平面 l表示直线 a b c表示点 其中真命题有 1 若a l a b b l 则l 2 a a b b 则 ab 3 若l a l 则a 4 若a b c a b c 且a b c不共线 则 与 重合 a 1