2019-2020学年高中数学 第三章 函数的应用 3.1.1 方程的根与函数的零点课件 新人教A版必修1

3 1函数与方程 3 1 1方程的根与函数的零点 1 函数的零点对于函数y f x 我们把使 的实数x叫做函数y f x 的零点 2 方程 函数 图象之间的关系 方程f x 0有实数根 函数y f x 的图象与 有交点 函数y f x f x 0 x轴 有零点 3 函数零点存在的判定方法如果函数y f x 在区间 a b 上的图象是 的一条曲线 并且有 那么 函数y f x 在区间 a b 内有零点 即存在c a b 使得 这个c也就是方程f x 0的根 连续不断 f a f b 0 f c 0 1 判一判 正确的打 错误的打 1 函数的零点就是函数的图象与x轴的交点坐标 2 函数y f x 的零点即为对应方程f x 0的根 3 若函数y f x 在区间 a b 内满足f a f b 0 则该函数在区间 a b 内可能没有零点 答案 1 2 3 2 做一做 请把正确的答案写在横线上 1 已知函数f x x2 1 则函数f x 1 的零点是 2 已知函数y f x 的定义域为r 图象连续不断 若计算得f 1 0 则可以确定零点所在区间为 答案 1 0和2 2 1 25 1 5 3 思一思 函数的零点是一个点吗 解析 函数的零点并不是指一个点 而是一个数 它是使得f x 0的自变量x的值 即方程f x 0的根 即函数y f x 的图象与x轴的交点的横坐标 例1 下列函数是否存在零点 若存在 求出其零点 若不存在 说明理由 1 y ax 2 a 0 2 y 4x2 4x 1 x 0 3 y lnx 1 解题探究 根据函数零点的概念知 函数是否有零点关键在于相应方程是否有实根 求函数的零点 3 函数y lnx 1存在零点 令lnx 1 0 lnx 1 x e 即e是使lnx 1 0成立的x值 故x e是此函数的零点 方法规律 求函数零点的两种方法 1 代数法 求方程f x 0的实数根 2 几何法 对于不能用求根公式的方程 可以将它与函数y f x 的图象联系起来 并利用函数的性质找出零点 1 判断下列说法是否正确 1 函数f x x2 2x的零点为 0 0 2 0 2 函数f x x 1 2 x 5 的零点为x 1 解析 1 函数的零点是使函数值为0的自变量的值 所以函数f x x2 2x的零点为0和2 故 1 错 2 虽然f 1 0 但1 2 5 即1不在函数f x x 1的定义域内 所以函数在定义域 2 5 内无零点 故 2 错 判断零点所在的区间 答案 c 方法规律 1 判断零点所在区间有两种方法 一是利用零点存在定理 二是利用函数图象 2 要正确理解和运用函数零点的性质在函数零点所在区间的判断中的应用 若f x 的图象在 a b 上连续 且f a f b 0 则f x 在 a b 内必有零点 若f a f b 0 则f x 在 a b 内不一定没有零点 2 函数f x ex x 2的零点所在的一个区间是 a 2 1 b 1 0 c 0 1 d 1 2 答案 c 解析 f 0 e0 0 2 1 0 f 1 e1 1 2 e 1 0 f 0 f 1 0 f x 在 0 1 内有零点 判断函数零点的个数 方法规律 判断函数零点个数的方法主要有 1 对于一般函数的零点个数的判断问题 可以先确定零点存在 然后借助于函数的单调性判断零点的个数 2 由f x g x h x 0 得g x h x 在同一坐标系下作出y1 g x 和y2 h x 的图象 利用图象判定方程根的个数 3 解方程 解得方程f x 0的根的个数即为函数零点的个数 答案 b 错解 因为f 1 20 所以函数f x 有一个零点 故选b 忽略图象的不连续而判断失误 1 在函数零点存在定理中 要注意三点 1 函数是连续的 2 定理的逆命题不成立 3 结论是至少存在一个零点 即也可能有多个零点 2 方程f x g x 的根是函数f x 与g x 的图象交点的横坐标 也是函数y f x g x 的图象与x轴交点的横坐标 3 函数与方程有着密切的联系 有些方程问题可以转化为函数问题求解 同样 函数问题有时也可以化为方程问题 这正是函数与方程思想的基础 1 函数f x log5 x 1 的零点是 a 0b 1c 2d 3 答案 c 解析 log5 x 1 0 解得x 2 函数f x log5 x 1 的零点是2 故选c 2 根据表格中的数据 可以判断方程ex x 2 0必有一个根在区间 a 1 0 b 0 1 c 1 2 d 2 3 答案 c 解析 设f x ex x 2 f 1 2 72 3 0 28 0 f 2 7 39 4 3 39 0 f 1 f 2 0 由根的存在性定理知 方程ex x 2 0必有一个根在区间 1 2 故选c 3 已知函数f x x2 ax b的两个零点是2和3 则函数g x bx2 ax 1的零点是 4 方程lnx 8 2x的实数根x0 k k 1 k z 则k 答案 3 解析 令f x lnx 2x 8 则f x 在 0 上单调递增 f 3 ln3 20 零点在 3 4 内 k 3 5 求函数f x log2x x 2的