2019-2020学年高中数学 第一章 导数及其应用 1.3.2 函数的极值与导数课件 新人教A版选修2-2

1 3 2函数的极值与导数 f x 0 f x 0 极小值点 极小值 极大值点 极大值 极值点 极值 一点附近 局部 2 求函数f x 的极值的方法解方程f x 0 当f x0 0时 1 如果在x0附近的左侧f x 0 右侧 那么f x0 是 2 如果在x0附近的左侧f x 0 右侧 那么f x0 是 3 如果f x 在点x0的左右两侧符号不变 则f x0 f x 0 极大值 f x 0 极小值 不是极值 2 已知函数y x3 3x 2 则 a y无极小值 也无极大值b y有极小值0 但无极大值c y有极小值0 极大值4d y有极大值4 但无极小值 答案 c 3 2019年广东广州模拟 已知f x x3 3ax2 bx a2在x 1时有极值0 则a b a 7b 2c 7或 2d 7或2 答案 a4 函数y x3 6x a的极大值为 极小值为 求函数的极值 解题探究 按照求极值的基本方法求出定义域内所有可能的极值点 再按照极值的定义判断在这些点处是否取得极值 设f x 在x0处连续且f x0 0 判别f x0 是极大 小 值的方法 1 若在x0两侧f x 符号相同 则x0不是f x 的极值点 2 若在x0附近的左侧f x 0 右侧f x 0 则f x0 是极大值 3 若在x0附近的左侧f x 0 右侧f x 0 则f x0 是极小值 1 求函数f x x4 x3的极值 例2 已知函数f x x3 3ax2 2bx在点x 1处有极小值为 1 试确定a b的值 并求f x 的单调区间 解题探究 利用 可导函数f x 在x x0处取得极值 则f x0 0 求解 函数极值的应用 此类问题根据极值点为导函数的零点构造方程组 从而求出待定系数 其中极值点可以看成是函数单调递增和单调递减区间的分界点 2 已知函数f x x5 ax3 bx 1 当且仅当x 1或x 1时取得极值且极大值比极小值大4 1 求a b的值 2 求f x 的极大值和极小值 利用极值研究方程根的问题 对于该题中的恒成立问题 一方面可以构造函数 通过判别式确定m的最大值 另一方面可以通过求f x 的最小值来确定m的最大值 方程有零点可以通过导数将函数的大致图象画出来 根据图象求得参数的取值范围 3 设函数f x x3 6x 5 x r 1 求函数f x 的单调区间和极值 2 若关于x的方程f x a有三个不同的实数根 求实数a的取值范围 导数为零时不一定有极值 示例 若f x x3 ax2 bx a2在x 1时有极值10 求a b的值 错因分析 可导函数在一点的导数值为0是函数在这一点取得极值的必要条件 而非充分条件 本题忽略了对所得两组解进行检验 从而出现了错误 故当x 1时 f x 为极小值 当a 3 b 3时 f x 3 x 1 2 0 即x 1为非极值点 所以a 3 b 3舍去 故a b 7 警示 可导函数的极值点必须是导数为零的点 但导数为零的点不一定是极值点 如f x x3 在x 0处导数f x 0 但x 0不是它的极值点 即可导函数在点x0处的导数f x0 0是该函数在x0处取得极值的必要不充分条件 1 利用导数求函数极值的主要步骤 求f x 解方程f x 0 判断f x 在各根左右两侧的符号 进一步确定函数的极值 如果在点x0两侧的单调性相反 则x0为极值点 否则它不是极值点 2 可导函数的极值点一定是导数为零的点 导数为零的点仅是该点为极值点的必要条件 其充分条件是该点两侧的导数异号 3 一般地 列表分析x y y的变化情况是求极值的有效方法 也可画出导函数图象判断极值情况 答案 d 解析 f x x2 2x 3 令f x 0 解得x 1或x 3 当x 1 时 f x 0 当x 1 3 时 f x 0 当x 3 时 f x 0 所以函