2019_2020学年高中数学第1章充分条件、必要条件（第2课时）充要条件学案新人教B版.docx

第2课时充要条件学 习 目 标核 心 素 养1.理解充要条件的概念(难点)2能够判定条件的充分、必要、充要性(重点)3会进行简单的充要条件的证明(重点、难点)1.通过充要条件的判断，提升逻辑推理素养2通过充分、必要、充要性的应用，培养数学运算素养.1充要条件的概念一般地，如果既有pq，又有qp，就记作pq.此时，我们说，p是q的充分必要条件，简称充要条件2充要条件的判断(1)一般地，如果既有pq，又有qp，就记作pq.此时，我们说，p是q的充分必要条件，简称充要条件概括地说，如果pq，那么p与q互为充要条件(1)若pq，但qp，则称p是q的充分不必要条件(2)若qp，但pq，则称p是q的必要不充分条件(3)若pq，且qp，则称p是q的既不充分也不必要条件思考：(1)若p是q的充要条件，则命题p和q是两个相互等价的命题，这种说法对吗？(2)“p是q的充要条件”与“p的充要条件是q”的区别在哪里？提示：(1)正确若p是q的充要条件，则pq，即p等价于q.(2)p是q的充要条件说明p是条件，q是结论p的充要条件是q说明q是条件，p是结论1下列命题，条件p是结论q的充要条件的是()Ap：a0，q：ab0Bp：ab，q：(ab)20Cp：|a|1，q：a1 Dp：ab，q：|a|b|BA.a0ab0；若ab0可以推出a和b至少有一个为0，故A错误；Bab(ab)20，故B正确；C若|a|1，可得a1，|a|1，推不出a1，故C错误；D若|a|b|，可得ab，故D错误故选B.2. 设xR，则x2的一个必要不充分条件是()Ax1 Bx3 Dx2x1，但x1x2，选A.3“a0且b0”是“a2b20，a，b是实数”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件Ca0且b0可以推出a2b20，a2b20可以推出a0且b0.4有下列命题： ab0是a2b2的充要条件； ab0是的充要条件； ab0是a3b3的充要条件其中错误的说法有_(填序号)由不等式的性质易得ab0a2b2，反之则不成立，如a2，b1.由不等式的性质易得ab0，反之则不成立，如a2，b1.由不等式的性质易得ab0a3b3，反之则不成立，如a2，b3.充要条件的判断【例1】下列各题中，哪些p是q的充要条件？(1)p：x0，y0，q：xy0；(2)p：ab，q：acbc；(3)p：x5，q：x10；(4)p：ab，q：a2b2.解命题(1)中，pq，但qp，故p不是q的充要条件；命题(2)中，pq，且qp，即pq，故p是q的充要条件；命题(3)中，pq，但qp，故p不是q的充要条件；命题(4)中，pq，且qp，故p不是q的充要条件充要条件判断的两种方法(1)要判断一个条件p是否是q的充要条件，需要从充分性和必要性两个方向进行，即判断两个命题“若p，则q”为真且“若q，则p”为真(2)在判断的过程中也可以转化为集合的思想来判断，判断p与q的解集是相同的，判断前必须分清楚充分性和必要性，即搞清楚由哪些条件推证到哪些结论提醒：判断时一定要注意，分清充分性与必要性的判断方向1在下列四个结论中，正确的有()设xR，“x1”是“x2”的必要不充分条件；在ABC中，“AB2AC2BC2”是“ABC为直角三角形”的充要条件；“a2b2”是“ab的充分不必要条件”；若a，bR，则“a2b20”是“a，b不全为0”的充要条件ABCDC对于结论，x2x1，但x1x2，故正确；对于结论，由a2b20a，b不全为0，反之，由a，b不全为0a2b20，故正确充分条件、必要条件、充要条件的应用探究问题1记集合Ax|p(x)，Bx|q(x)，若p是q的充分不必要条件，则集合A，B的关系是什么？若p是q的必要不充分条件呢？提示：若p是q的充分不必要条件，则AB，若p是q的必要不充分条件，则BA.2记集合Mx|p(x)，Nx|q(x)，若MN，则p是q的什么条件？若NM，MN呢？提示：若MN，则p是q的充分条件；若NM，则p是q的必要条件；若MN，则p是q的充要条件【例2】已知p：2x10，q：1mx1m(m0)，若p是q的充分不必要条件，则实数m的取值范围为_思路点拨 9，)因为p是q的充分不必要条件，所以pq且qp.即x|2x10是x|1mx1m，m0的真子集，所以或解得m9.所以实数m的取值范围为9，)利用充分、必要、充要条件的关系求参数范围(1)化简p，q两命题；(2)根据p与q的关系(充分、必要、充要条件)转化为集合间的关系；(3)利用集合间的关系建立不等式；(4)求解参数范围.2已知Px|a4xa4，Qx|1x3，“xP”是“xQ”的必要条件，求实数a的取值范围解因为“xP”是“xQ”的必要条件，所以QP.所以解得1a5，即a的取值范围是1,5.有关充要条件的证明或求解【例3】已知ab0，证明a2b2ab2ab0成立的充要条件是ab1.证明先证充分性：若ab1，则a2b2ab2ab(ab)2(ab)110，即充分性成立，必要性：若a2b2ab2ab0，则(ab)2(ab)(ab)(ab1)0，ab0，ab10，即ab1成立，综上，a2b2ab2ab0成立的充要条件是ab1.充要条件的证明策略(1)要证明一个条件p是否是q的充要条件，需要从充分性和必要性两个方面进行，即证明两个命题“若p，则q”为真且“若q，则p”为真.(2)在证明的过程中也可以转化为集合的思想来证明，证明p与q的解集是相同的，证明前必须分清楚充分性和必要性，即搞清楚由哪些条件推证到哪些结论.提醒：证明时一定要注意，分清充分性与必要性的证明方向.3求证：关于x的方程ax2bxc0有一个根是1的充要条件是abc0.证明假设p：方程ax2bxc0有一个根是1，q：abc0.证明pq，即证明必要性x1是方程ax2bxc0的根，a12b1c0，即abc0.证明qp，即证明充分性由abc0，得cab.ax2bxc0，ax2bxab0，即a(x21)b(x1)0.故(x1)(axab)0.x1是方程的一个根故方程ax2bxc0有一个根是1的充要条件是abc0.1.充要条件的判断有三种方法：定义法、等价命题法、集合法2充要条件的证明与探求(1)充要条件的证明分充分性和必要性的证明，在证明时要注意两种叙述方式的区别：p是q的充要条件，则由pq证的是充分性，由qp证的是必要性；p的充要条件是q，则pq证的是必要性，由qp证的是充分性(2)探求充要条件，可先求出必要条件，再证充分性；如果能保证每一步的变形转化过程都可逆，也可以直接求出充要条件1“x1”是“x22x10”成立的()A充要条件B充分不必要条件C必要不充分条件D既不充分也不必要条件 A当x1时，x22x10.由x22x10, 解得x1，所以“x1”是“x22x10成立的充要条件”. 2设实数a，b满足|a|b|，则“ab0”是 “ab0”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件 C由ab0，得ab.又|a|b|，得 ab0.由ab0，得ab