2422直线和圆的位置关系(1)

设 O的半径为r 点到圆心的距离为d 则 点和圆的位置关系 点在圆内 d r 点在圆上 点在圆外 d r d r 复习 24 2 2直线和圆的位置关系 大漠孤烟直 长河落日圆 是唐朝诗人王维的诗句 它描述了黄昏日落时分塞外特有的景象 如果我们把太阳看成一个圆 地平线看成一条直线 那你能根据直线与圆的公共点的个数想象一下 直线和圆的位置关系有几种 观察三幅太阳落山的照片 地平线与太阳的位置关系是怎样的 a 地平线 你发现这个自然现象反映出直线和圆的位置关系有哪几种 1 3 2 图1 特点 直线和圆有唯一的公共点 叫做直线和圆相切 这时的直线叫切线 唯一的公共点叫切点 特点 直线和圆有两个公共点 叫直线和圆相交 这时的直线叫做圆的割线 直线和圆的位置关系 现炒现卖练习1 直线与圆最多有两个公共点 判断 3 若A是 O上一点 则直线AB与 O相切 A O 若直线与圆相交 则直线上的点都在圆内 4 若C为 O外的一点 则过点C的直线CD与 O相交或相离 C 快速判断下列各图中直线与圆的位置关系 l l O2 l L 2 连结直线外一点与直线所有点的线段中 最短的是 1 直线外一点到这条直线垂线段的长度叫点到直线的距离 垂线段 a A D 观察讨论 当直线与圆相离 相切 相交时 圆心到直线的距离d与半径r有何关系 d r 相离 A d r 相切 a a H 2 直线与圆的位置关系 数量特征 D O r d 相交 C O B E F O a r r r 2 直线l和 O相切 2 用圆心到直线的距离和圆半径的数量关系 来揭示圆和直线的位置关系 1 直线l和 O相离 3 直线l和 O相交 d r d r d r 总结 判定直线与圆的位置关系的方法有 种 1 根据定义 由 的个数来判断 2 根据性质 由 的关系来判断 在实际应用中 常采用第二种方法判定 两 直线与圆的公共点 圆心到直线的距离d与半径r r d d d 直线与圆的位置关系判定方法 无 切线 割线 直线名称 无 切点 交点 公共点名称 d r d r d r 圆心到直线距离d与半径r关系 0 1 2 公共点个数 相离 相切 相交 直线和圆的位置关系 现炒现卖练习2 填空 1 已知 O的半径为5cm 点O到直线a的距离为3cm 则 O与直线a的位置关系是 直线a与 O的公共点个数是 相交 相切 两个 一个 2 已知 O的直径是11cm 点O到直线a的距离是5 5cm 则 O与直线a的位置关系是 直线a与 O的公共点个数是 3 已知 O的直径为10cm 点O到直线a的距离为7cm 则 O与直线a的位置关系是 直线a与 O的公共点个数是 零 相离 4 直线m上一点A到圆心O的距离等于 O的半径 则直线m与 O的位置关系是 相切 或相交 A O d 5cm d 5cm d 5cm 0cm 思考 圆心A到X轴 Y轴的距离各是多少 拓展训练1 O 已知 A的直径为6 点A的坐标为 3 4 则 A与X轴的位置关系是 A与Y轴的位置关系是 B C 4 3 相离 相切 A 以P 3 2 为圆心的圆与x轴相切 则这个圆与y轴的关系是 A 相离B 相切C 相交D 无法确定 举一反三 再来一练 A 例1 在Rt ABC中 C 90 AC 3cm BC 4cm 以C为圆心 r为半径的圆与AB有怎样的关系 为什么 1 r 2cm 2 r 2 4cm 3 r 3cm 例 在Rt ABC中 C 90 AC 3cm BC 4cm 以C为圆心 r为半径的圆与AB有怎样的关系 为什么 1 r 2cm 2 r 2 4cm 3 r 3cm D 解 过C作CD AB于D 在Rt ABC中 根据三角形面积公式有 CD AB AC BC 即圆心C到AB的距离d 2 4cm 1 当r 2cm时 有d r 因此 C和AB相离 2 当r 2 4cm时 有d r 因此 C和AB相切 3 当r 3cm时 有d r 因此 C和AB相交 练习 P1021 在 O中 经过半径OA的外端点A作直线L OA 则圆心O到直线L的距离是多少 直线L和 O有什么位置关系 思考 O A OA 相切 L 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 几何应用 OA L L是 O的切线 A B l O 圆O与直线l相切 则过点A的直径AB与切线l有怎样的位置关系 垂直 例1直线AB经过 O上的点C 并且OA OB CA CB 求证 直线AB是 O的切线 证明 连接OC OA OB CA CB OAB是等腰三角形 OC是底边AB上的中线 OC AB AB是 O的切线 O A L 思考 将上页思考中的问题反过来 如果L是 O的切线 切点为A 那么半径OA与直线L是不是一定垂直呢 一定垂直 切线的性质定理 圆的切线垂直于过切点的半径 练习P103 1 2 切线长定理 如图 过 O外一点P有两条直线PA PB与 O相切 A B P O 在经过圆外一点的圆的切线上 这点和切点间的线段的长 叫做切线长 切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线 它们的切线长相等 圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角 平分切点所成的两弧 垂直平分切点所成的弦 例1 已知 如图 PA PB是 O的两条切线 A B为切点 直线OP交 O于点D E 交AB于C 1 写出图中所有的垂直关系 2 写出图中所有的全等三角形 3 如果PA 4cm PD 2cm 求半径OA的长 A O C D P B E 解 1 OA PA OB PB OP AB 2 OAP OBP OCA OCB ACP BCP 3 设OA xcm 则PO PD x 2 x cm 在Rt OAP中 由勾股定理 得 PA2 OA2 OP2 即42 x2 x 2 2 解得x 3cm 所以 半径OA的长为3cm 思考 如图 一张三角形的铁皮 如何在它上面截下一块圆形的用料 并且使圆的面积尽可能大呢 I D 内切圆和内心的定义 与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆 内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点 叫做三角形的内心 例2 ABC的内切圆 O与BC CA AB分别相切于点D E F 且AB 9cm BC 14cm CA 13cm 求AF BD CE的长 解 设AF x cm 则AE x cm CD CE AC AE 13 xBD BF AB AF 9 x 由BD CD BC可得 13 x 9 x 14 解得x 4 AF 4 cm BD 5 cm CE 9 cm 练习P106 1 2 记忆 1 Rt ABC中 C 90 a 3 b 4 则内切圆的半径是 1 1 在Rt ABC中 B 90 A的平分线交BC于D 以D为圆心 DB长为半径作 D 试说明 AC是 D的切线 F 2 AB是 O的弦 C是 O外一点 BC是 O的切线 AB交过C点的直径于点D OA CD 试判断 BCD的形状 并说明你的理由 3 AB是 O的直径 AE平分 BAC交 O于点E 过点E作 O的切线交AC于点D 试判断 AED的形状 并说明理由 基础题 1 既有外接圆 又内切圆的平行四边形是 2 直角三角形的外接圆半径为5cm 内切圆半径为1cm 则此三角形的周长是 3 O边长为2cm的正方形ABCD的内切圆 E F切 O于P点 交AB BC于E F 则 BEF的周长是 E F H G 正方形 22cm 2cm 4 已知 三角形ABC内接于 O 过点A作直线EF 1 图甲 AB为直径 要使得EF是 O切线 还需添加的条件 只需写出三种情况 2 图乙 AB为非直径的弦 CAE B 求证 EF是 O的切线 CAE B AB FE BAC CAE 90 H 5 小红家的锅盖坏了 为了配一个锅盖 需要测量锅盖的直径 锅边所形成的圆的直径 而小红家只有一把长20cm的直尺 根本不够长 怎么办呢 小红想了想 采取以下方法 首先把锅平放到墙根 锅边刚好靠到两墙 用直尺紧贴墙面量得MA的长 即可求出墙的直径