122全等三角形的判定

12 1全等三角形的判定 第十二章全等三角形 人民教育出版社义务教育教科书八年级数学 上册 全等三角形的性质是 全等三角形的对应边相等 对应角相等 反过来成立吗 本节就来讨论这个问题 先任意画出一个 ABC 再画一个 A B C 使 ABC与 A B C 满足上六个条件中的一个或两个 你画出的 A B C 与 ABC一定全等吗 两个直角三角形 有一个角相等 它们全等吗 探究1 有一条边相等的两个三角形全等吗 一边 一角相等的两个三角形全等吗 通过画图我们可以发现 满足上述六个条件中的一个或两个 ABC与 A B C 不一定全等 满足三个条件呢 能保证他们全等吗 我们来分情况讨论 先任意画一个 ABC再画一个 A B C 使A B AB B C BC C A CA 把画好的 A B C 剪下 放到 ABC上 它们全等吗 探究2 画一个 A B C 使A B AB A C AC B C BC 1 画线段B C BC 2 分别以B C 为圆心 线段AB AC为半径画弧 两弧交于点A 3 连接线段A B A C C A A B C B 探究2反应了什么规律 三边对应相等的两个三角形全等 可简写成SSS 你能写出它的符号语言吗 在 ABC与 A B C 中 AB A B BC B C AC A C ABC A B C sss C A A B C B 符号语言 我们曾经作过这样的实验 将三根木条钉成一个三角形木架 这个三角形木架的形状 大小就不变了 就是说三角形的形状大小也就确定了 这里用到的就是上面的结论 用上面的结论可以判断两个三角形全等 判断两个三角形全等的过程 叫做证明三角形全等 例1如图 ABC是一个钢架 AB AC AD是连接点A与BC中点D的支架 求证 ABC ACD C A B D 分析 要证 ABD ACD 可以看这两个三角形三边是否 它们相等吗 相等 证明 D是BC的中点 BD CD AB AC 在 ABD与 ACD中 BD CD AD AD ABD ACD SSS 公共边 已证 已知 你学会了吗 从例1可以看出 证明是由题设 已知 出发 经过一步步推理 最后推出结论 求证 正确的过程 已知AC FE BC DE 点A D B F在一条直线上 AD FB 要用 边边边 证明 ABC FDE 除了已知中的AC FE BC DE以还应该有什么条件 怎样才能得到这个条件 A B C D E F 工人师傅常用角尺平分一个任意角 做法如下 如图 AOB是一个任意角 在边OA OB上分别取OM ON 移动角尺 使角尺两边相同的刻度分别与M N重合 过角尺顶点C的射线OC便是 AOB的平分线 为什么 练习 先任意画一个 ABC 再画一个 A B C 使A B AB A A AC A C 即使有两边和它们的夹角对应相等 把画好的 A B C 剪下 放到 ABC上 它们全等吗 探究3 C A A B C B 画一个 A B C 使A B AB A C AC A A 1 画 DA E A 2 在射线A D上截取A B AB 在射线A E上截取A C AC 3 连接线段B C 探究3反应了什么规律 两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等 可简写成 边角边 或 SAS 你能写出它的符号语言吗 C A A B C B 符号语言 在 ABC与 A B C 中 AB A B A AAC A C ABC A B C SAS 例2如图有一池塘 要测池塘两端A B的距离 可先在平地上取一个可以直接到达A和B的点C 连接AC并延长到D 使CA CD 连接BC并延长到E 使CE CB 连接DE 量出DE的长就是A B的距离 为什么 分析 如果能证明 ABC DEC 就可以得到AB DE 在 ABC与 DEC中 CA CD CB CE 1 2 ABC DEC还差一个条件是 证明 CA CD 在 ABC与 DEF中 1 2 CB CE ABC DEF SAS 已知 对顶角相等 已知 你学到了什么 从例2可以看出 因为全等三角形的对应边相等 对应角相等 所以证明分别属于两个三角形的线段相等或者角相等的问题 常通过证明这两个三角形全等来解决 探究4 我们知道 两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等 由 两边及其中一边的对角对应相等 的条件能判定两个三角形全等吗 为什么 可以通过画图来回答 还可以通过实验来回答 把一长一短的两根细木棍的一端用螺钉铰合在一起 使长木棍的另一端与射线BC的端点B重合 适当调整好长木棍与射线BC所成的角后 固定住长木棍 把短木棍摆起来 动动手 练习 1 如图 两车从路段AB的一端A出发 分别向东 向西行进相同的距离 到达C D两地 此时C D到B的距离相等吗 为什么 A D C B 2 如图 点E F在BC上 BE CF AB DC B C 求证 A D A D C B F E 探究5 先任意画一个 ABC 再画一个 A B C 使A B AB A A B B 即两角和它们的夹边对应相等 把画好的 A B C 剪下 放到 ABC上 它们全等吗 画一个 A B C 使A B AB A A B B 1 画A B AB 2 在A B 同旁画 DA B A EB A B A D B E交于点C A B C A B C E D 两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等 可简写成ASA 你能写出它的符号语言吗 C A A B C B 在 ABC与 A B C 中 A A AB A B B B ABC A B C 探究6 在 ABC与 DEF中 A D B E BC EF ABC与 DEF全等吗 能利用角边角的条件证明你的结论吗 C A D B F E 两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等 可简写成AAS C A A B C B 在 ABC与 A B C 中 A A B B BC B C ABC A B C 例3如图 D在AB上 E在AC上 AB AC B C 求证AD AE A B C D E A B C D E 分析 如果能证明 ABE ACD 就可以得到AB DE AB AC 在 ABE与 ACD中 B C A A ABE ACD ASA 已知 已知 证明 公共角 AD AE 全等三角形对应边相等 探究7 三角对应相等的两个三角形全等吗 现在我们学了哪些判定全等的方法 判定两个三角形全等的方法 1 SSS 三边对应相等 2 SAS两边及夹角对应相等 3 ASA两角夹边对应相等 4 AAS两角及一角的对边对应相等 1 如图 要测量河两岸相对两点A B两点的距离 可以在AB的垂线BF上取两点C D 使BC CD 再定出BF的垂线DE 使A C E在一条直线上 这时测得DE的长就是AB的长 为什么 A B C D E F 2 如图 AB BC AD DC 1 2 求证AB AD 1 2 A B C D 分析 如果能证明 ABC ACD 就可以得到AB AD 对于两个直角三角形 除了直角相等的条件外 还要满足几个条件 这两个直角三角形就全等了 讨论 A B C D E F 由三角形全等的条件判断 对于两个直角三角形 满足一边一锐角对应相等 或两直角边对应相等 这两个直角三角形全等吗 如果满足斜边和一条直角边对应相等 这两个直角三角形全等吗 探究 先任意画一个 ABC 使 再画一个 A B C 使A B AB 把画好的 A B C 剪下 放到 ABC上 它们全等吗 画一个 A B C 使 1 画 2 在射线 上取 以 为圆心 为半径画弧 交射线 于点 连接 A B C A B C 斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 可简写成斜边 直角边或 你能写出它的符号语言吗 在 ABC与 A B C 中 AB A B B B ABC A B C 符号语言 例 如图 A BC D D 求证B AD A B C AC BD 在RT ABC与RT BAD中 AB BA RT AB