高中数学第三章空间向量与立体几何3.1空间向量及其运算3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示讲义.docx

3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示1空间向量基本定理(1)定理条件如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p结论存在唯一的有序实数组x，y，z，使得pxaybzc(2)基底与基向量如果三个向量a，b，c不共面，那么所有空间向量组成的集合就是p|pxaybzc，x，y，zR，这个集合可看作是由向量a，b，c生成的，我们把a，b，c叫做空间的一个基底，a，b，c都叫做基向量2空间向量的正交分解及其坐标表示(1)单位正交基底三个有公共起点O的两两垂直的单位向量e1，e2，e3称为单位正交基底，用e1，e2，e3表示(2)空间直角坐标系以e1，e2，e3的公共起点O为原点，分别以e1，e2，e3的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系Oxyz.(3)空间向量的坐标表示对于空间任意一个向量p，一定可以把它平移，使它的起点与原点O重合，得到向量p，由空间向量基本定理可知，存在有序实数组x，y，z，使得pxe1ye2ze3.把x，y，z称作向量p在单位正交基底e1，e2，e3下的坐标，记作p(x，y，z)1判一判(正确的打“”，错误的打“”)(1)只有两两垂直的三个向量才能作为空间向量的一组基底()(2)向量的坐标与点P的坐标一致()(3)对于三个不共面向量a1，a2，a3，不存在实数组1，2，3使01a12 a23 a3.()答案(1)(2)(3)2做一做(1)(教材改编P94T1)如果向量a，b与任何向量都不能构成空间的一个基底，则()Aa与b共线 Ba与b同向Ca与b反向 Da与b共面(2)若向量i，j，k为空间直角坐标系上对应x轴，y轴，z轴正方向的单位向量，且设a2ij3k，则向量a的坐标为_(3)设a，b，c是三个不共面向量，现从ab，abc中选出一个使其与a，b构成空间的一个基底，则可以选择的向量为_(填写代号)(4)如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中建立空间直角坐标系已知ABAD2，BB11，则的坐标为_，的坐标为_答案(1)A(2)(2，1,3)(3)(4)(0,2,1)(2,2,1)探究1基底的概念例1若a，b，c是空间的一个基底，判断ab，bc，ca能否作为该空间的一个基底解假设ab，bc，ca共面，则存在实数，使得ab(bc)(ca)，所以abba()c.a，b，c为空间的一个基底，a，b，c不共面，此方程组无解ab，bc，ca不共面ab，bc，ca可以作为空间的一个基底拓展提升基底判断的基本思路及方法(1)基本思路：判断三个空间向量是否共面，若共面，则不能构成基底；若不共面，则能构成基底(2)方法：如果向量中存在零向量，则不能作为基底；如果存在一个向量可以用另外的向量线性表示，不能构成基底假设abc，运用空间向量基本定理，建立，的方程组，若有解，则共面，不能作为基底；若无解，则不共面，能作为基底【跟踪训练1】设xab，ybc，zca，且a，b，c是空间的一个基底，给出下列向量组：a，b，x，x，y，z，b，c，z，x，y，abc，其中可以作为空间的基底的向量组有()A1个 B2个 C3个 D4个答案C解析解法一：由空间向量共面的充要条件知：若xab，则x，a，b共面故不能作为基底若中，假设x，y，z共面，则zxy，即：ca(ab)(bc)，则此方程组无解x，y，z不共面，故能作为基底同理，能作为基底对，若x，y，abc共面，则存在实数，使abcxy(ab)(bc)即此方程组无解x，y，abc不共面，故能作为基底解法二：如图所示，设a，b，c，则x，y，z，abc，由A，B1，C，D1四点不共面，可知向量x，y，z也不共面，同理可知b，c，z和x，y，abc也不共面探究2用基底表示向量例2如下图，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，P是CA1的中点，M是CD1的中点，N是C1D1的中点，点Q是CA1上的点，且CQQA141，a，b，c，用基底a，b，c表示以下向量：(1)；(2)；(3)；(4).解连接AC，AC1.(1)()()(abc)abc.(2)()(2)(a2bc)abc.(3)()()()abc.(4)()abc.结论探究如果把例2中要表示的向量改为，怎样解答呢？解()abc.()()()b(ac)abc.aabcabc.拓展提升用基底表示向量的步骤(1)定基底：根据已知条件，确定三个不共面的向量构成空间的一个基底(2)找目标：用确定的基底(或已知基底)表示目标向量，需要根据三角形法则及平行四边形法则，结合相等向量的代换、向量的运算进行变形、化简，最后求出结果(3)下结论：利用空间向量的一个基底a，b，c可以表示出空间所有向量表示要彻底，结果中只能含有a，b，c，不能含有其他形式的向量【跟踪训练2】下图，四棱锥POABC的底面为一矩形，PO面OABC，设a，b，c，E，F分别为PC和PB的中点，试用a，b，c表示，.解连接OB，OE，则()(cab.a()acb.a()acb.又E，F分别为PC，PB的中点，a.探究3空间向量的坐标表示例3已知PA垂直于正方形ABCD所在的平面，M，N分别是AB，PC的中点，并且PAAD1.在如图所示的空间直角坐标系中，求向量的坐标解因为PAADAB1，所以可设e1，e2，e3.因为()()e3e2.所以.结论探究其他条件不变，上例问法改为：求向量的坐标解因为PAADAB，设e1，e2，e3，因为e1e2e3，所以.条件探究其他条件同例3，空间直角坐标系的建立不同于例3.建立如图所示的空间直角坐标系，求，的坐标解因为PAADAB，且PA平面ABCD，ADAB，所以可设e1，e2，e3.分别以e1，e2，e3为单位正交基底建立空间直角坐标系Axyz，如题图所示，e2，所以(0,1,0)，()e2e3(e3e1e2)e1e3，从而可知.拓展提升1.建立空间直角坐标系，必须牢牢抓住相交于同一点的两两垂直的三条直线，要在题目中找出或构造出这样的三条直线，因此要充分利用题目中所给的垂直关系，即线线垂直、线面垂直、面面垂直，要使尽可能多的点落在坐标轴上，尽可能多的线段平行于坐标轴，有直角的把直角边放在坐标轴上2求空间向量坐标的一般步骤(1)建系：根据图形特征建立空间直角坐标系；(2)运算：综合利用向量的加减及数乘运算；(3)定结果：将所求向量用已知的基底向量表示出来确定坐标3适当的坐标系有时不是唯一的，在不同坐标系下，同一向量的坐标一般不同【跟踪训练3】已知ABCDA1B1C1D1是棱长为2的正方体，E，F分别为BB1和DC的中点，建立如图所示的空间直角坐标系，试写出，的坐标解设x，y，z轴的单位向量分别为e1，e2，e3，其方向与各轴上的正方向相同，则2e12e22e3，(2,2,2)2e12e2e3，(2,2,1)又e2，(0,1,0)1.正确理解基底的概念基底中不能有零向量因零向量与任意一个非零向量都为共线向量，与任意两个非零向量都共面，所以三个向量为基底隐含着三个向量一定为非零向量.2.求空间向量坐标的方法空间几何体中，欲得到有关点的坐标时，先建立适当的坐标系，一般选择两两垂直的三条线段为坐标轴，然后选择基向量，根据已知条件和图形关系将所求向量用基向量表示，即得所求向量的坐标.3.用基底表示向量的方法用基底表示空间向量，一般要用向量的加法、减法、数乘的运算法则，及加法的平行四边形法则，加法、减法的三角形法则逐步向基向量过渡，直到全部用基向量表示.1若O，A，B，C为空间四点，且向量，不能构成空间的一个基底，则()A.，共线 B.，共线C.，共线 DO，A，B，C四点共面答案D解析由，不能构成基底，知，三向量共面，所以O，A，B，C四点共面2在空间直角坐标系Oxyz中，下列说法中正确的是()A向量的坐标与点B的坐标相同B向量的坐标与点A的坐标相同C向量的坐标与向量的坐标相同D向量的坐标与的坐标相同答案D解析在空间直角坐标系中，从原点出发的向量的坐标等于终点的坐标，不从原点出发的向量的坐标等于终点的坐标减去始点的坐标，所以.3在正方体ABCDA1B1C1D1中，E是上底面A1B1C1D1的中心，则AC1与CE的位置关系是()A重合 B垂直 C平行 D无法确定答案B解析连接C1E，则，()设正方体的棱长为1，于是()00001000，故，即AC1与CE垂直4已知e1，e2，e3是空间的一个基底，若e1e2ve30，则22v2_.答案0解析因为e1，e2，e3是空间的一个基