2019_2020学年高中数学第2章平面向量2.4.1向量在几何中的应用2.4.2向量在物理中的应用教案新人教B版.docx

2.4.1向量在几何中的应用 2.4.2向量在物理中的应用学 习 目 标核 心 素 养1会用向量法计算或证明平面几何和解析几何中的相关问题(重点)2会用向量法解决某些简单的物理学中的问题(难点)1通过向量在几何中应用的学习，培养学生数学运算及数学建模核心素养2通过向量在物理中的应用，培养学生数学建模的核心素养.1向量在几何中的应用(1)直线与向量平行的条件直线的斜率与向量的关系：设直线l的倾斜角为，斜率为k，A(x1，y1)l，P(x，y)l，向量a(a1，a2)平行于l，可得ktan .平行条件：如果知道直线l的斜率k，则向量(a1，a2)一定与该直线平行法向量：如果表示向量的基线与一条直线垂直，则称这个向量垂直该直线这个向量称为这条直线的法向量(2)特殊向量设直线l的一般方程为AxByC0，则向量(A，B)与直线l垂直，向量(B，A)与l平行思考1：向量可以解决哪些常见的几何问题？提示(1)解决直线平行、垂直、三点共线等位置关系问题(2)解决有关夹角、长度及参数的值等的计算或度量问题2向量在物理中的应用(1)力向量力向量与自由向量不同，它包括大小、方向、作用点三个要素在不考虑作用点的情况下，可利用向量运算法则进行计算(2)速度向量一质点在运动中每一时刻都有一个速度向量，该速度向量可以用有向线段表示思考2：向量可以解决哪些物理问题？提示解决物理中力、速度、加速度、位移等有关矢量的合成与分解问题，以及与力做功相关的问题1已知直线l：mx2y60，向量(1m,1)与l平行，则实数m的值为()A1B1C2D1或2D由于，得m1或m2.2下列直线与a(2,1)垂直的是()A2xy10Bx2y10Cx2y40D2xy40A直线2xy10与向量(2,1)垂直3已知力F(2,3)作用在一物体上，使物体从A(2,0)移动到B(2,3)，则F对物体所做的功为_焦耳1由已知位移(4,3)，力F做的功为WF2(4)331.向量在平面几何中的应用【例1】如图，平行四边形ABCD中，E，F分别是边AD，DC的中点，连接BE，BF，分别交AC于R，T两点求证：ARRTTC.思路探究由于R，T是对角线AC上的两点，要证ARRTTC，只要证AR, RT，TC都等于AC即可证明设a，b，r，t，则ab.由于与共线，所以可设rn(ab)因为ab，与共线，所以可设mm.因为，所以rbm，所以n(ab)bm，即(nm)ab0.由于向量a，b不共线，要使上式成立，则有解得所以.同理.所以ARRTTC.1利用向量的关系证明问题通常先选取一组基底，基底中的向量最好已知模及两者之间的夹角，然后将问题中出现的向量用基底表示，再利用向量的运算法则、运算律以及一些重要性质运算，最后把运算结果还原为几何关系2平面向量在坐标表示下的应用利用平面向量的坐标表示，可以将平面几何中长度、垂直、平行等问题很容易地转化为代数运算的问题，运用此种方法必须建立适当的坐标系1.如图所示，若D是ABC内的一点，且，求证：ADBC.证明设a，b，e，c，d，则aec，bed，a2b2(ec)2(ed)2c22ec2edd2.由已知a2b2c2d2，c22ec2edd2c2d2，即e(cd)0.dc，e(dc)0，即ADBC.向量在解析几何中的应用【例2】过点A(2,1)，求：(1)与向量a(3,1)平行的直线方程；(2)与向量b(1,2)垂直的直线方程思路探究在直线上任取一点P(x，y)，则(x2，y1)，由a可以得(1)，由b可以得(2)解设所求直线上任意一点P(x，y)，A(2,1)，(x2，y1)(1)由题意知a，(x2)13(y1)0，即x3y50，所求直线方程为x3y50.(2)由题意，知b，(x2)(1)(y1)20，即x2y40，所求直线方程为x2y40.用向量方法解决解析几何问题的步骤：一是把解析几何问题中的相关量用向量表示；二是转化为向量模型，通过向量运算解决问题；三是将结果还原为解析几何问题.2已知点A(1,0)，直线l：y2x6，点R是直线l上的一点，若2，求点P的轨迹方程解设P(x，y)，R(x0，y0)，则(1,0)(x0，y0)(1x0，y0)，(x，y)(1,0)(x1，y)由2，得又点R在直线l：y2x6上，y02x06，由得x032x，代入得62(32x)2y，整理得y2x，即为点P的轨迹方程.向量在物理中的应用探究问题1.向量的数量积与功有什么联系？提示物理上力做功的实质是力在物体前进方向上的分力与物体位移距离的乘积，它的实质是向量的数量积2用向量方法解决物理问题的一般步骤是什么？提示用向量理论讨论物理学中的相关问题，一般来说分为四个步骤：问题转化，即把物理问题转化为数学问题；建立模型，即建立以向量为载体的数学模型；求解参数，即求向量的模、夹角、数量积等；回答问题，即把所得的数学结论回归到物理问题中【例3】两个力F1ij，F24i5j作用于同一质点，使该质点从点A(20,15)移动到点B(7,0)(其中i，j分别是与x轴、y轴同方向的单位向量)求(1)F1，F2分别对该质点做的功；(2)F1，F2的合力F对该质点做的功思路探究向量数量积的物理背景是做功问题，所以本题需将做功问题转化为求向量的数量积的问题解(720)i(015)j13i15j.(1)F1做的功W1F1sF1(ij)(13i15j)28 J.F2做的功W2F2sF2(4i5j)(13i15j)23 J.(2)FF1F25i4j，所以F做的功WFsF(5i4j)(13i15j)5 J.1求几个力的合力：可以用几何法，通过解三角形求边长及角，也可以用向量法求解2如果一个物体在力F的作用下产生位移s，那么力F所做的功W|F|s|cos ，其中是F与s的夹角由于力和位移都是向量，所以力所做的功就是力与位移的数量积3在静水中划船速度的大小是每分钟40 m，水流速度的大小是每分钟20 m，如果一小船从岸边O处出发，沿着垂直于水流的航线到达对岸，则小船的行进方向应指向哪里？解如图所示，设向量的长度和方向表示水流速度的大小和方向，向量的长度和方向表示船在静水中速度的大小和方向，以，为邻边作平行四边形OACB，连接OC.依题意OCOA，BCOA20，OB40，BOC30.故船应向上游(左)与河岸夹角为60的方向行进(教师用书独具)1向量方法在平面几何中应用的五个主要方向(1)要证明两线段相等，如ABCD，则可转化为证明22.(2)要证明两线段平行，如ABCD，则只要证明存在实数0，使2成立，且AB与CD无公共点(3)要证明两线段垂直，如ABCD，则只要证明数量积0.(4)要证明A，B，C三点共线，只要证明存在一实数0，使.(5)要求一个角，如ABC，只要求向量与向量的夹角即可2向量方法研究物理问题的相关知识(1)力、速度、加速度和位移都是向量(2)力、速度、加速度和位移的合成和分解就是向量的加、减法(3)动量mv是数乘向量(4)功是力F与在力F的作用下物体所产生的位移s的数量积.1在ABC中，若()()0，则ABC为()A正三角形B直角三角形C等腰三角形D形状无法确定C()()0，220，22，CACB，ABC为等腰三角形2过点A(2,3)，且垂直于向量a(2,1)的直线方程为()A2xy70B2xy70Cx2y40Dx2y40A设P(x，y)是所求直线上任一点，则a，又(x2，y3)，2(x2)(y3)0，即2xy70.3若3e，5e，且|，则四边形ABCD的形状为_等腰梯形由3e，5e，得，又因为ABCD为四边形，所以ABDC，ABDC.又|，得ADBC，所以四边形ABCD为等腰梯形4一架飞机从A地向北偏西60的方向飞行1 000 km到达B地，然后向C地飞行设C地恰好在A地的南偏西60方向上，并且A，C两地相距2 000 km，求飞机从