2019高考数学二轮复习专题三数列第3讲数列不等式的证明问题（选用）课件VIP

第3讲数列不等式的证明问题 选用 高考定位1 数列中不等式的证明是浙江高考数学试题的压轴题 2 主要考查数学归纳法 放缩法 反证法等数列不等式的证明方法 以及不等式的性质 3 重点考查学生逻辑推理能力和创新意识 真题感悟 记函数f x x2 2x x 2 ln 1 x x 0 证明 1 用数学归纳法证明 xn 0 当n 1时 x1 1 0 假设n k k 1 k n 时 xk 0 那么n k 1时 若xk 1 0 则0 xk xk 1 ln 1 xk 1 0 矛盾 故xk 1 0 因此xn 0 n n 所以xn xn 1 ln 1 xn 1 xn 1 因此0 xn 1 xn x n 2 由xn xn 1 ln 1 xn 1 得 函数f x 在 0 上单调递增 所以f x f 0 0 3 因为xn xn 1 ln 1 xn 1 xn 1 xn 1 2xn 1 1 数学归纳法 证明一个与正整数n有关的命题 可按下列步骤进行 1 归纳奠基 证明当n取第一个值n0 n0 n 时命题成立 2 归纳递推 假设n k k n0 k n 时命题成立 证明当n k 1时命题也成立 只要完成这两个步骤 就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立 考点整合 2 反证法一般地 由证明p q转向证明 綈q r t t与假设矛盾 或与某个真命题矛盾 从而判定綈q为假 推出q为真的方法 叫做反证法 3 放缩法放缩法是利用不等式的传递性 证明不等式的方法 要证a b 可先将a放大到c 然后只需证明c b即可 而a1 a 0 所以an 0 下面用数学归纳法证明 因为a 0且a 1 所以a2 1 假设当n k k 2 k n 时 有ak ak 1 1 综上 对任意n 2 均有anak 1 ak b 探究提高数学归纳法是解决和正整数有关命题的证明方法 可以借助递推公式 证明由特殊到一般的结论成立问题 因此 可以在数列不等式的证明中大显身手 在本例中 1 首先根据条件等式的结构特征推出an 0 然后用数学归纳法证明即可 2 首先由 1 知当k 2时 1 ak 1 ak b 然后利用数列的递推公式证明即可 所以an 2 an 1 2 2 法一假设存在an 1 n 1 n n 由 1 可得当n n时 an an 1 1 由假设可得an n 1 0 这显然与 矛盾 所以an 1 n n 法二假设存在an 1 n 1 n n 由 1 可得当n n时 0 an an 1 1 由 1 可得1 an 1 这显然与 矛盾 所以an 1 n n an 1 an 3 an 2 2 0 an 1 an 3 2 an 1 2 an an 2 探究提高数列中不等式的证明本身就是放缩的结果 在证明过程中 要善于观察数列通项的特点 结合不等式的结构合理地选择放大与缩小 常见的两种放缩方式是 放缩成等比数列求和形式 放缩成裂项求和形式 数列 不等式是高中数学的重点内容之一 也是初等数学与高等数学的衔接点之一 命题方式灵活 对学生的数学思维要求较高 具有良好的高考选拔功能 数列中不等式的证明 是浙江省高