24.1.3_弧、弦和圆心角(1)

24 1 3弧 弦 圆心角 圆的对称性 轴对称性 复习 圆是中心对称图形吗 它的对称中心在哪里 思考 圆是中心对称图形 它的对称中心是圆心 将圆绕圆心任意旋转 圆具有旋转不变性 导入 N O 把圆O的半径ON绕圆心O旋转任意一个角度 N O N 把圆O的半径ON绕圆心O旋转任意一个角度 N O N 把圆O的半径ON绕圆心O旋转任意一个角度 N O N 把圆O的半径ON绕圆心O旋转任意一个角度 N O N 定理 把圆绕圆心旋转任意一个角度后 仍与原来的圆重合 所以圆具有旋转不变性 把圆O的半径ON绕圆心O旋转任意一个角度 由此可以看出 点N 仍落在圆上 圆心角 我们把顶点在圆心的角叫做圆心角 O 如图中所示 AOB是一个圆心角 概念 判别下列各图中的角是不是圆心角 并说明理由 议一议 如图 将圆心角 AOB绕圆心O旋转到 A OB 的位置 你能发现哪些等量关系 为什么 根据旋转的性质 将圆心角 AOB绕圆心O旋转到 A OB 的位置时 显然 AOB A OB 射线OA与OA 重合 OB与OB 重合 而同圆的半径相等 OA OA OB OB 从而点A与A 重合 B与B 重合 O A B O A B A B A B 探究 同样 还可以得到 在同圆或等圆中 如果两条弧相等 那么它们所对的圆心角 所对的弦 在同圆或等圆中 如果两条弦相等 那么他们所对的圆心角 所对的弧 这样 我们就得到下面的定理 相等 相等 相等 相等 定理 O A B 下面的说法正确吗 为什么 如图 因为 根据圆心角 弧 弦的关系定理可知 想一想 同圆或等圆 如图 AB CD是 O的两条弦 1 如果AB CD 那么 2 如果AB CD 那么 3 如果 AOB COD 那么 试一试 4 如果AB CD OE AB于E OF CD于F OE与OF相等吗 为什么 试一试 相等 AB CD AOB COD 又 AO CO BO DO AOB COD 又 OE OF是AB与CD对应边上的高 OE OF 圆心到弦的距离叫做这条弦的弦心距 在同圆或等圆中 相等的圆心角所对的弦的弦心距相等 两条弦心距 把圆心角等分成360份 则每一份的圆心角是1 同时整个圆也被分成了360份 则每一份这样的弧叫做1 的弧 这样 1 的圆心角对着1 的弧 1 的弧对着1 的圆心角 n 的圆心角对着n 的弧 n 的弧对着n 的圆心角 性质 弧的度数和它所对圆心角的度数相等 小结 2 所对的圆心角和所对的圆心角相等 在两个圆中 分别有 若的度数和相等 则有 1 和相等 判断 结束 试一试 点此继续 知识延伸 例题讲解 证明 AB AC ABC是等腰三角形 又 ACB 60 ABC是等边三角形 AOB BOC AOC 例题讲解 2 AOB COB AOC的度数分别为 例题讲解 3 若 O的半径为r 则等边ABC三角形的边长为 例题讲解 4 延长AO 分别交BC于点P 交弧BC于点D 连结BD CD 试判断四边形BDCO是哪一种特殊四边形 并说明理由 例2如图 AB是 O的直径 COD 35 求 AOE的度数 解 O1和 O2是等圆 AD O1O2 正确的是 A AB CD且AB CDB AB CD且AB CDC AB CD且AB CDD 以上都不对 O1 O2 A B C D 例3 如图 已知AD BC 求证AB CD 例4 如图 CD是 O的弦 AC BD OA OB分别交CD于E F 求证 OEF是等腰三角形 O A C D E F B 例5 变式 如图 在圆O中 已知AC BD 试说明 1 OC OD 2 AE BF 如图 已知点O是 EPF的平分线上一点 P点在圆外 以O为圆心的圆与 EPF的两边分别相交于A B和C D 求证 AB CD 分析 联想到角平分线的性质 作弦心距OM ON 证明 作 垂足分别为M N P A B E C D F 要证AB CD 只需证OM ON O 例6 如图 P点在圆上 PB PD吗 P点在圆内 AB CD吗 P B E D F O 思考 例7 如图 O与 ABC三边均相交 在三边上截得的线段DE FG HK 1 若 A 50 则 BOC 2 若 A 则 BOC 例8 A B C D是 O上四点 且弧AB 2弧CD 则弦AB与弦CD的2倍的关系是 A AB 2CDB AB 2CDC AB 2CDD 不能确定 例9 如图 M N分别为 O的非直径弦AB CD的中点 AB CD 求证 AMN CNM 例10 如图 已知 ABC的三个顶点都在 O上 CN为 O的直径 CM AB 点F为弧AB的中点 求证 1 CF平分 NCM 2 AM NB C B M F N 例11 如图 A B C是 O上三个点 连接弧AB和弧AC的中点D E的弦交弦AB AC于F G 求证 AF AG A D E B C F G O 1相等的圆心角所对的弧相等 2 如图 O中 AB CD 则 试一试你的能力 3 如图 在 O中 AC BD 求 2的度数 4 如图 在 O中 AB AC B 70 求 C度数 5 如图 在三个等圆上各有一条劣弧弧AB 弧CD 弧EF 如果弧AB 弧CD 弧EF 那么AB CD与EF的大小关系是 A AB CD EFB AB CD EFC AB CD EFD 不确定 6 如图 在 ABC中 ABC 900 C 400 求弧AD的度数 弧的度数就是该弧所对圆心角的度数 7 在圆中 若弧AB的度数是900 那么弧AB的长是圆周长的 8 若弦AB等于 O的半径 则弦所对的圆心角度数是 9 如图 AB是 O的直径 BC CD DA是 O的弦 且BC CD DA 求弧BD的度数 10 如图所示 在 O中 AC是直径 弦AB CD 求证 AOD BOC 11 如图所示 AB CD是 O的直径 DF BE是弦 且DF BE 求证 B D 12 如图所示 已知以平行四边形ABCD的顶点A为圆心 以AB长为半径作圆交AD于点F 交BC于点G BA的延长线交 A于点E 求证 弧EF 弧FG 13 如图所示 已知 AOB 90 C D是弧AB的三等分点 AB分别交OC OD于点E F 求证