从物理学到财务金融-物理学会.doc

從物理學到財務金融漫談跨學科的結合文/林蒼祥、蔡蒔銓摘要財務金融，尤其是財務工程己經發展成為橫跨財務這個社會學科和物理、數學、電腦等理工學科的新領域；不論是在學術研究上，或是在實務應用上，這樣的多門學科的連結與融合，都日益明顯。非財務出身而在財務界表現傑出的學者或實務人才不勝枚舉，包括1997年諾貝爾經濟學奬得主Robert C. Merton、2002年Quantitative Finance 期刊的風雲人物 Alexander Lipton-Lifschitz、出版過許多與財務工程相關書籍的Paul Wilmott等等。財務界以Geometric Brownian motion來描述股價、油價、滙率等財務上重要變數的時間序列，並因此與許多物理學上的模型與定律產生重大的連結。而數學上處理Brownian motion的技巧也因此常被財務研究人員借用來做理論的推導與實務的應用。例如財務上著名的Black-Scholes-Merton偏微分方程式便與量子力學上薛定愕方程（Schrdinger equation）有極大的相似性。若能具備對財務深入而正確的認識，配合上數學以及電腦等強有力的工具，理工學科人才便能在財務的領域中，擁有紮實的競爭優勢。物理雙月刊（廿七卷六期）2005年12月802壹、前言在近十年來，愈來愈多理工背景出身的人才投入財務領域的工作。而華爾街在徵求財務工程人才時也已經把專業要求從財務轉到數學、物理學、或其他的理工電腦科系。據估計，有超過半數以上的財務工程從業人員是來自與這些理工電腦科系，這樣一個明顯的現象代表財務實務界對於人才需求的新趨勢，以及看似毫不相關財務與理工學科背後深層的密切相關性。財務學界及實務界這幾年來大量借用數學的技巧和物理學的基本模型，並因複雜的模型與大量的資料處理需求而逐漸依賴電腦的運算處理。因此財務界向數學、物理學、或其他的理工電腦科系舉才的現象日益明顯。非財務出身而在財務界表現傑出的學者或實務人才不勝枚舉，包括1997年諾貝爾經濟學奬得主Robert C. Merton、2002年Quantitative Finance 期刊的風雲人物 Alexander Lipton-Lifschitz、出版過許多與財務工程相關書籍的Paul Wilmott等等。當討論到財務與物理學之間的相關性，很自然的要從布朗運動（Brownian motion）談起，財務界以Geometric Brownian motion來描述股價、油價、滙率等財務上重要變數的時間序列，並因此與許多物理學上的模型與定律產生重大的連結。而數學上處理Brownian motion的技巧也因此常被財務研究人員借用來做理論的推導與實務的應用。一個明顯的財務與物理學相關的例子就是在財務學上應用Girsanovs理論改變Brownian motion的drift項（Martingale Representation Theorem），就如同物理學上的座標轉換，在轉換的前後距離和面積並不因此而改變。市場風險價格的考量以及Radon-Nikodym derivative導出的Martingale Measure共同組成現代財務研究的重要基礎。當然在古典力學上應用廣泛的動態積分（例如path-integral），亦成為財務模型推導上的重要工具。貳、理科人在財務領域許多數學和物理學出身而進入財務領域的人，在學術以及實務上表現卓越並作出重大貢獻，在此僅舉數例以供讀者參考。Robert C. Merton 是一位數學背景出身而獲得諾貝爾經濟學獎的著名學者，他於西元1966年及1967年在哥倫比亞大學和加州理工學院分別取得他的工程數學學士和應用數學碩士的學位。在那幾年的數學學習生涯，Merton首次對隨機過程和最優控制理論產生了濃厚的興趣。他特別癡迷於John Chu的熱傳導課程，它使他認識到了高深的數學在解決現實問題時的力量。之後，Merton決定離開加州理工學院(也離開數學)去學習經濟學。他師從著名的經濟學者Paul Samuelson，並於西元1970年取得麻省理工學院經濟學博士的學位。Merton 與Myron Scholes (及已故數學家Fischer Black) 根據源於物理學的隨機過程所發展出的 Black-Scholes-Merton Option Pricing Model 為包括股票、債券、貨幣、商品在內的新興衍生金融市場的各種以市價價格變動定價的衍生金融工具的合理定價奠定了基礎。 Merton 更擴展了原模型的內涵,使之同樣運用於許多其他形式的金融交易。瑞士皇家科學協會 (The Royal Swedish Academy of Sciences) 讚譽他們在期權定價方面的研究成果是之後25年經濟科學中的最傑出貢獻。Alexander Lipton-Lifschitz 從莫斯科大學取得數學碩士及博士的學位後，從事與地球磁性動態(the Earths magnetohydrodynamic)的充電原漿物理(the physics of charged plasmas) 的相關研究，並曾榮獲俄羅斯科學協會(The Russian Academy of Science) 所頒發的最佳青年物理學家獎。在西元1989年以政治避護身份到了美國後，曾在麻省理工學院從事研究，並成為伊利諾大學的教授。後來，Lipton 因為家庭的關係，進入華爾街工作，開始運用他在數學和物理學上的專業知識，從事財務工程的實務應用。在他進入華爾街的四年內，他就成為在新奇選擇權訂價的領域中著名的創新研究者。他運用物理學上自我相似性 (Self-Similarity Technique)的技巧，推導出新的亞式選擇權(Asia Options)及回顧選擇權(Lookback Options) 的訂價模型，並對動態波動性所造成避險模型的執行困擾有重大的貢獻。他也因此獲得風險雜誌(Risk Magazine)評選為2000年最佳數量分析人員的殊榮。Lipton接受著名期刊Quantitative Finance訪問時表示，物理學和財務工程背後的機制有很大的相似性，運用數學和物理學上的技巧來解決財務上所遇到的難題，是再自然也不過的事了。他認為擁有完整而嚴謹的數學和物理學的訓練，對於想要進入財務領域的人來說，有顯著的競爭優勢。Paul Wilmott 則是正統物理學出身的學者，他主要的研究領域是在根據Newtonian 原則所導出來的Navier-Stokes公式為中心的流體力學。他的博士論文是有關潛水艇的移動，他曾在英國牛津大學研究過相當多與物理學相關的問題；例如：玻璃纖維的製造、飛機機翼的設計、渦輪引擎扇片的冷卻等等。在這個過程中，他學習到以開放的心來運用他完整而嚴謹的數理訓練來解決實際的問題。在八O年代末期，他開始注意到一些在財務領域中有趣的數學問題，在此之後，他逐漸把工作以及研究的重心轉移到財務工程領域；現在他是英國牛津大學皇家科學院的研究學者，並出版過許多財務工程相關的著作，例如：Derivatives-The theory and practice of financial engineering.）。他同時也是許多財務工程顧問公司的合夥人，以及軟體公司的執行長，他也擔任Applied Mathematical Finance以及其他許多著名期刊的主編或編輯。像Paul Wilmott 這樣從傳統物理學出身，而在財務工程領域創造事業高峰，並對相關學術及實務界有重大影響力的研究人員在過去十年來有逐漸增加的趨勢。參、物理學對財務領域的影響物理學對財務領域的影響是全面且深遠的，在此僅舉數例說明。英國植物學家Robert Brown 於西元1827年觀察花粉在水裡不斷的舞動，這種現象稱為布朗運動（Brownian motion），愛因斯坦（Albert Einstein）以獨特的眼光分析是微小的水分子在作祟，還利用數學方法計算出分子的大小和亞佛加厥常數，證明分子的存在。三年後，法國物理學家佩蘭通過實驗印證了愛因斯坦的理論。早在西元1900年， Bachelier以數學方法分析巴黎股票交易的價格變化，自此，財務研究人員開始將股票價格的變化，與物理學上布朗運動所描述的微粒子動態軌跡的數學模型相互連接，之後，以布朗運動來描述股票價格的動態軌跡，更成為財務上連續時間 (Continuous-Time Finance) 研究的重要基礎。假設W服從布朗運動，則W的變化，dW，是一個符合常態分配的隨機變數，dW的期望值為0，變異數為時間的變化，dt。十九世紀初，在物理學上提出的熱傳導偏微分方程式 (Heat Partial Differential Equation)，亦廣泛地運用在財務領域。熱傳導偏微分方程式除了在物理學上解釋熱流的動態軌跡外，還可以用來分析例如：煙粒子在空氣的運動、Belousov-Zhabotinsky 等化學模型、Hodgkin-Huxley 電流活動模型等等。一般常用來描述溫度的簡單熱傳導偏微分方程式為其中，u是溫度，x是spatial coordinate，而t是時間。在這個偏微分方程式中，可看出溫度對x的二次微分與其對t的一次微分之間的平衡。在財務領域中，最重要的偏微分方程式無疑是Black-Scholes-Merton偏微分方程式。假設股票價格服從幾何布朗運動（geometric Brownian motion），則其中，dS為瞬間股價之變動，是股票的瞬間期望報酬，是股票的瞬間波動度，W為Wiener process。假設V是一種衍生性金融工具，其價值為股票價格及時間的函數，即V = V(S,t)。根據Itos Lemma，購買一單位的V，並賣出（放空）單位的S，以創造一個新的投資組合F。則選擇，使得新的投資組合F成為無風險資產，即此在財務上稱為完全避險比率(Delta Hedging Ratio)，在此比率下，新的投資組合F的隨機不確定性降為零。Delta Hedging亦是財務上動態避險的一種，避險比率隨著V對S的一次微分在不同時間的變化而改變。既然新的投資組合F是無風險資產，在無套利空間的前題下，投資組合F的瞬間期望報酬應該等於無風險資產的瞬間期望報酬（假設為r），即這就是財務上著名的Black-Scholes-Merton偏微分方程式。這個類似量子力學上薛定愕方程（Schrdinger equation）的偏微分方程式，可以物理學上的反應-傳達-擴散(reaction-convection-diffusion)來解釋。第一部分是類似熱傳導偏微分方程式中的V對S的二次微分與其對t的一次微分之間的平衡，可視為擴散項（diffusion）：唯一和熱傳導偏微分方程式中的擴散項不同的是，V對S的二次微分前面的係數是的S函數，這在物理學上可以解釋為熱傳導的介質具有非同質性(Non-homogeneity)。第二部分是V對S的一次微分，可視為傳達項（convection）：如果這個方程式代表某種物理系統，譬如煙粒子在空氣的運動，則此傳達項表示微風將煙粒子吹往特定方向的效果。最後一部分可視為反應項，此項和時間導數之間的平衡，可決定半生命週期與r相關的放射性物體衰退模型。整體來看，這就是個完整的反應-傳達-擴散(reaction-convection-diffusion) 模型，事實上，Black-Scholes-Merton偏微分方程式就像是污染物隨著河流擴散，並有部分被河底泥沙吸收的物理模型：水中的擴散為擴散項、水流為傳達項、河底泥沙吸收為反應項。值得一提的是，在推導Black-Scholes-Merton偏微分方程式的過程中，我們隱含了一個重要的假設，那就是個別資產與投資組合的交易成本為零。一個假設沒有交易成本的財務世界，與一個假設沒有磨擦阻力的物理世界，有著極為相似的意函。若要將交易成本（磨擦阻力）放入考量，原模型應作相應的調整。此外，推導過程中所使用的Itos Lemma，其實就是數學上泰勒展開式二階的應用，在財務連續時間研究的意義上，與1932年諾貝爾物理學獎得主海森堡（Werner Heisenberg）在量子力學上所提出的測不準原理有異曲同工之妙。測不準原理由海森堡在1927年提出，主要說明一個微觀粒子的位置與動量，不可能在同時間測得準確值，因此，泰勒展開式中的高階次項可以被忽略。除了Black-Scholes-Merton偏微分方程式外，深受物理學影響的財務連續時間研究，更擴展到一般財務學術及實務的各個領域，尤其在資產定價、衍生性金融商品評價、利率期間結構理論、投資組合選擇理論、實質選擇權等財務的核心領域，財務連續時間研究更成為財務研究及實務應用的主流，並提供更多的經濟意涵。財務連續時間研究在上述各個領域中推導出許多可以實証研究驗証的假說，也相對促進測試財務連續時間模型的計量經濟理論在過去十年來長足的發展。兹就上述各個領域在財務連續時間研究上的發展概述如下：一、資產定價：財務連續時間研究在資產定價領域中最主要圍繞在幾個實証上發現的幾個重要現象，首先，Mehra and Prescoot (1985)發現在現實經濟社會所觀察到的股東權益風險溢酬遠高於所有財務模型所能產生的水準，自此，便有許多研究探討可能的解釋。其次，資產報酬長期的記憶效果以及違約風險溢酬被証實可以用來預測股東權益未來的報酬。另外，實証上觀察到的無風險利率較財務模型所預測的結果明顯平穩許多，這樣一個理論與實証上的波動度差異吸引了許多相關的財務研究。二、衍生性金融商品評價：吸取數學及物理學資源的財務連續時間研究在衍生性金融商品領域上產生革命性的發展。在前述的Black-Scholes-Merton偏微分方程式發表之後，數以千計的研究論文從事包括各式選擇權、遠期契約、期貨、交換等等在定價上的探討。這些研究論文大致可分為以下四類：(1)推導包括新奇選擇權、交換選擇權、波動度交換、房貸証券化等複雜衍生性金融商品的定價模型。(2)上述複雜的衍生性金融商品定價模型通常無法推導出清楚的定價公式，而是必需借用數學及物理學上各種的數值運算方法來求解。(3)研究一些使用簡單的Black-Scholes-Merton定價模型所無法解釋的市場現象，例如：波動度的期間結構（volatility smiles）。(4)探討有關交易限制及交易成本在衍生性金融商品的交易、定價、避險等各方面的影響（類似在物理學上有摩擦力的情況下改變原有的運動定律）。三、利率期間結構理論：無風險利率期間結構是財務連續時間研究另一個具有重大影響力的領域。Robert C. Merton在1975年研究動態成長模型下利率結構的均衡之後，許多學者便致力於發展利率期間結構的動態模型。其中，著名的單變量模型包括Vasicek(1977)、Langetieg(1980)等，多變量模型包括Longstaff and Schwarts (1992)、Hull and White (1990)等。四、投資組合選擇理論：Cox, Ross and Huang (1989) 以及Karatzas, Lehoczky and Shreve (1986,1987,1990)証明應用Martingale Representation理論（類似物理學上的座標轉換）可以將財務上的動態問題在完全市場的情況下簡化為一個靜態的問題。Barberis (1999)及Cambell and Viceira(2000)等研究最佳投資組合與投資期間、投資者的風險趨避程度、動態投資機會等要素的相關性。這些研究大多利用數學上的Bellman方程式的概約求解來推導最適投資組合模型。五、實質選擇權：實資選擇權著重在投資決策復原成本高而投資方案未來報酬不確定的情況下，投資者在決定投資時所放棄的等待選擇權，並擴展到各種與決策者的決策彈性有關的決策選擇權。Dixit and Pindyck (1994)及Amram and Kulatilaka (1999)發展出許多在不確定市場情況下的投資決策理論。值得一提的是，在實質選擇權領域的先趨者之一Nalin Kulatilaka亦是理工出身投入財務金融研究而有卓越成就的學者。肆、實務上應用之一例：選擇權訂價模型是標準歐式買權(C)到期的現金流量是Max(0,S(T)-K). 以C(T) = Max(0,S(T)-K)為邊界條件式，配合Black-Scholes-Merton偏微分方程式，可以推導出標準歐式買權的定價公式為：而標準歐式賣權(P)到期的現金流量是Max(0,K-S(T). 以P(T) = Max(0,K-S(T)為邊界條件式，配合Black-Scholes-Merton偏微分方程式，可以推導出標準歐式賣權的定價公式為：然而，對於比較複雜的選擇權，尤其是一些美式新奇選擇權，這樣的定價公式並不存在，選擇權定價經常需要以數值方法解多元常態累積分配機率。常用來計算選擇權價格的數值方法包括：一、 二項或三項樹狀法（Binomial or Trinomial Tree Method）。二、 有限差分法（Finite Difference Method）。三、 蒙地卡羅模擬法（Monte Carlo Simulation Method）。限於篇幅，在此僅就蒙地卡羅模擬法在選擇權定價上的應用簡要說明。蒙地卡羅模擬是根據衍生性商品標的資產價格變動之隨機過程進行模擬，並進而求算出此一衍生性商品的價值。假設新奇選擇權的價值（V）不僅受到到期日資產價格（ST）的影響，也受到從發行日至到期日之間資產價格的路徑（）所影響，即，其中為新奇選擇權的收益函數。若短期無風險利率為常數，即r() = r，則此一新奇選擇權在發行日之價值為其中為風險中立下之期望值，蒙地卡羅模擬法即利用此方程式來進行評價。更明確的說，若資產價格（S）服從幾何布朗運動，則資產價格的瞬間變動為、W 之定義同前。利用Itos Lemma可將此式改寫為亦即ln S在一段時間內（如從時點t至T）的變動，服從常態分配：即是平均數為，標準差為之常態分配，在風險中立評價法下（Risk-Neutral Valuation），我們以無風險利率r代替，則故在時點T之資產價格（ST）可表示為其中為自平均數為0，標準差為1之標準常態分配中所抽取之隨機樣本。在資產價格模擬時，將新奇選擇權的存續期間分割成N期，每期皆為t（T/N），然後自標準常態分配中抽出N個獨立之隨機樣本後，依據上式即可計算出在時點0，t，2t，.，T時之資產價格，如此便產生一條資產價格模擬之路徑，並可以利用求算新奇選擇權之收益值。每一條資產價格模擬路徑與相應的新奇選擇權收益值之計算，稱為一次的模擬試行（Simulation Trial）。在經過大量的模擬試行之後，譬如100,000次，可以得到100,000條資產價格模擬路徑及其對應的新奇選擇權收益值，新奇選擇權的價值即為，亦即將模擬所得之100,000個新奇選擇權收益值予以平均，再以無風險利率折現，便可得出該新奇選擇權價值的估計值。在此舉一個較複雜的多資產連動債券為例，說明蒙地卡羅模擬法在選擇權定價上的應用。假設有一以美金計價連結8檔香港股票的連動債券，投資期間為4年，每年觀察一次。每年評價日根據以下不同情境配息：情境A：所有連結個股股價都上漲高於期初進場價，配息6% 並提前出場。情境B：所有連結個股股價都下跌10%，配息6% 並提前出場。情境C：連結個股有漲有跌, 80%表現最差的個股100%，則配息4%。情境D：連結個股有漲有跌,60%表現最差的個股80%，則配息2%。情境E：連結個股股價有漲有跌, 表現最差的個股60%，則不配息。茲就可能發生的實際情況，以具體的數字舉例分析如下：狀況一(情境A)：若連動個股股價全數高於其期初股價之100%，本債券提前到期還本並配息6%。年度最差個股表現最佳個股表現本息給付到期與否1102%132%106%是狀況二(情境C & 情境D)：本債券未提前到期，且每年定期支付配息。年度最差個股表現最佳個股表現本息給付到期與否185%98%4%否262%91%2%否382%106%4%否491%102%104%是狀況三(情境E)：本債券未提前到期，且未給付票息，到期仍100%保本。年度最差個股表現最佳個股表現本息給付到期與否142%92%0%否258%99%0%否352%102%0%否449%91%100%是狀況四(情境B)：若連動個股股價全數跌破其期初股價之90%，本債券提前到期還本並配息6%。年度最差個股表現最佳個股表現本息給付到期與否167%86%106%是使用以下參數代入蒙地卡羅模擬，計算此一多資產連動債券之理論價值。美元無風險利率：(Bloomberg FWCV)時間1年期2年期3年期4年期利率4.27%4.308%4.34%4.357%波動度：股票代碼330HK494HK17HK12HK4HK1HK8HK13HK連結標的思捷環球控股利豐新世界發展恆基地產九龍倉集團長江實業電訊盈科和記黃埔波動度24.00%29.00%27.00%16.00%19.00%16.00%17.00%18.00%根據上述蒙地卡羅模擬法的運算邏輯，針對此8檔具有中國概念且連動性高的港股進行10,000次的模擬試行， 可求得此一多資產連動債券的理論價值如下：多資產連動債券理論價值100%選擇權上手利潤1.8%保管費0.2%4=0.8%產品理論價值98.2% 伍、結語財務金融，尤其是財務工程己經發展成為橫跨財務這個社會學科和物理、數學、電腦等理工學科的新領域；不論是在學術研究上，或是在實務應用上，這樣的多門學科的連結與融合，都日益明顯。不可諱言的，財務工程領域在近幾年來的蓬勃發展，其高挑戰性及高報酬的特點，吸引了無數的高階理工人才相繼投入。這些物理、數學、及其它理工學科出身的優秀人才，在財務工程領域表現傑出，他們在學術及實務上的貢獻，直接促成了財務工程學科在這幾年的長足進步。數學以及電腦是在財務工程領域中強有力的工具，理工學科人才的優勢，不僅在於對模型的推導、處理、以及應用能力，也在於從嚴格而完整的數理訓練中產生的邏輯思考以及組織能力。然而，我們要強調的是，正如從事物理研究工作一樣，所有數學以及電腦的技巧，絕對必須配合完整的物理理論基礎才能獲致實用。因此，唯有具備對財務深入而正確的認識，配合上這些工具的輔助，才能在財務的領域中，擁有紮實的競爭優勢。因此，証諸歷史，預見未來，財務工程人才將被定位為結合財務、數學、電腦、物理應用等的高階人員，並將引領財務工程繼續成為發展快速的嶄新學科。參考文獻Amram M. and N. 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