第三章初等函数1

第三章初等函数 内江师范学院数信学院赵思林 目的与要求 理解函数的定义 掌握函数的性质及其应用 会运用函数的思想方法解决数学一些问题 教学内容与课时分配 第一节函数的一般概念及教学 2学时 第二节初等函数的分类 1学时 第三节初等函数的性质 3学时 第四节函数的思想方法 2学时 教学重点分析 函数的一般概念 初等函数的性质 函数的思想方法等内容是教学的重点 教学难点分析 函数定义的理解 函数的思想方法等内容是教学的难点 3 1函数概念 一 函数的定义定义1如果两个变量按照某一确定的规律联系着 当第一变量变化时 第二变量也随着变化 就把第二个变量叫做第一个变量的自变量 定义2设和是两个集合 如果按照某种对应法则 对于集合中的任何一个元素 在集合中都有唯一的元素和它对应 这样的对应叫做从集合到集合的函数 记作 定义3设和是两个集合 是的一个非空子集 如果满足对于任意 存在唯一的使 则称为到的一个函数 定义4设 为非空集合 如果按照某种对应法则 对于中任一元素 中都有且仅有一个元素与之对应 就称是一个从集合到集合的映射 记 特别地 当 都是实数集合时 则称从到的映射为函数 函数通常记作 当对应时称是的函数值 或是的函数值 或是的象 记为 这时称是的原象 二 函数的三要素 在研究函数的抽象定义时 不妨把函数比喻为一个 机噐 加工的过程 输入输出 而这关键的加工机制就是 定义5函数的相等要求输入的相同 加工机制相同 输出的也相同 定义6设 是的子集 是到的函数 则称的子集是函数的图像 三 函数的表示法 解析法 公式法 列表法图像法 例设是以实数集为定义域的函数 且对任意 均满足求证 当时 当时 四 反函数及其图像 满射 单射 一一映射 双射 逆映射 1 逆映射和反函数 定义如果函数是定义域到值域上的一一映射 那么由它的逆映射所确定的函数 叫做函数的反函数 反函数的习惯表示为 2 反函数的图像 定理1函数的图像和它的反函数的图像关于直线对称 注 有人认为反函数与原来的函数在同一坐标系中的图像是一样的 这种看法是不妥当的 美国数学家柯朗指出 函数的图像绕直线翻转180 正好得到反函数的图像 3 互反函数间的辩证关系 定理2设函数是一一映射 是它的逆映射 反函数 则 1 表示B上的恒等映射 2 3 是一一映射的 4 是唯一的 5 的逆映射就是 例2设 的图像与的像关于直线对称 求 3 2用初等方法讨论函数 一 函数的定义域和值域1 的定义域2 函数值域的求法 1 直接法 例1求的值域 2 反函数法例2求的值域 3 判别式法例3求的值域 例4求下列函数的值域 1 2 评 此例即P 149之例6 1 宜用换元法 2 宜用换元法 或单调法 3 换元法 例5求的值域 评 P 151之例7令 更简解法 此外 尚有 单调法 基不法 向量法 解析法 三角法 微分法 二 函数的性质 1 有界性2 单调性 研究 3 奇偶性4 周期性 例1证明的最小正周期是例2判断函数是否为周期函数 定理1设是定义在集合D上的周期函数 它的最小正周期是T 则有 1 函数 为常数 仍是D上的周期函数 且最小正周期仍为T 2 函数 是在集合上的周期函数 最小正周期仍为T 3 函数 是以为最小正周期的周期函数 析 3 设0 使 也是的周期 但矛盾 定理2设是定义在集合D上的周期函数 其最小正周期 如果是定义在集合上的函数 且当时 则是集合上以为周期的周期函数 注 和的最小正周期未必相同 如 若是周期函数 而不是周期函数 则不一定是周期函数 定理3设和都是定义在集合D上的周期函数 它们的正周期分别为和 若 则与也是D上的周期函数 和的公倍数是它们的和与积的一个周期 析 为互质正整数 令 则 有 注 可以证明 和 也是以T为周期的周期函数 定理3没有肯定T的最小性 定理3的条件是充分的 但不是必要的 如 若与为D上的连续周期函数 和分别是它们的最小正周期 那么及为周期函数的充要条件是为有理数 例3讨论函数的周期性 3 3基本初等函数 一 基本初等函数三角函数 六个 反三角函数 二 初等函数及其分类 1 初等函数2 初等函数的分类有理整函数有理函数初等代数函数有理分函数初等函数无理函数初等超越函数3 代数函数的广义定义凡能作为代数方程的解的函数都叫做代数函数 3 4函数的思想方法 例1已知函数其中为的导函数 对满足的一切的值 恒有 求实数的取值范围 设 当实数在什么范围内变化时 函数的图象与只有一个公共点 2006年四川文21题 例2求的图像的