雅安市2015-2016学年高二下期末数学试卷(文)含答案解析

第 1 页（共 17 页） 2015年四川省雅安市高二（下）期末数学试卷（文科） 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1设集合 S=x|x 3， T=x| 6 x 1，则 S T=（ ） A 6， +） B（ 3， +） C 6， 1 D（ 3， 1 2设 i 是虚数单位，则复数 在复平面内所对应的点位于（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 3命题 “ x R，总有 0”的否定是（ ） A “ xR，总有 0” B “ x R，总有 0” C “ x R，使得 0” D “ x R，使得 0” 4 “ “”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 5已知函数 则 的值是（ ） A 10 B C 2 D 5 6阅读程序框图，若使输出的结果不大于 11，则输入的整数 i 的最大值为（ ） A 3 B 4 C 5 D 6 7已知函数 y=2x+ ） 函数的最小正周期 T 和它的图象的一条对称轴方程是（ ） A T=2，一条对称轴方程为 x= B T=2，一条对称轴方程为 x= C T=，一条对称轴方程为 x= 第 2 页（共 17 页） D T=，一条对称轴方程为 x= 8为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系，随机调查了该社区 5 户家庭，得到如表统计数据表： 收入 x（万元） 出 y（万元） 据上表可得回归直线方程 = x+ ，其中 = = ，据此估计，该社区一户收入为 15 万元家庭年支出为（ ）万元 A 已知函数 f（ x）的部分图象如图所示，则 f（ x）的解析式可能为（ ） A f（ x） =2 ） B f（ x） = 4x+ ） C f（ x） =2 ）D f（ x） =24x+ ） 10设复数 z=（ x 1） +（ y ） i，（ x， y R），若 |z| 2，则 y x 的概率为（ ） A B C D 11函数 f（ x） =（ x ） x 且 x 0）的图象可能为（ ） A B C D 12已知定义在 R 上的函数 f（ x）满足 f（ 1） =1，且 f（ x）的导数 f（ x）在 R 上恒有 f（ x） ，则不等式 f（ x） x+ 的解集为（ ） A（ 1， +） B（ ， 1） C（ 1， 1） D（ ， 1） （ 1， +） 二、填空题 :本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。请将答案填在答题卷相应位置 13计算 = 14某电子商务公司对 1000 名网络购物者 2015 年度的消费情况进行统计，发现消费金额（单位：万元）都在区间 ，其频率分布直方图如图所示在这些购物者中，消费金额在区间 的购物者的人数为 第 3 页（共 17 页） 15函数 y=其极值点处的切线方程为 16将边长为 1m 的正三角形薄铁片，沿一 条平行于某边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记 s= ，则 s 的最小值是 三、解答题：本大题共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 . 17（ 1）求 ）的值； （ 2）化简： 18命题 p：关于 x 的不等式 0 对 x R 恒成立；命题 q：函数 f（ x） =（ 5 2a） x 是减函数，若 p q 为真， p q 为 假，求实数 a 的取值范围 19已知函数 f（ x） =x+ ）（ 0）的最小正周期为 （ 1）求 的值； （ 2）求函数 f（ x）在区间 0， 上的取值范围 20已知函数 f（ x） =1 x） +x+3）（ 0 a 1） （ 1）求函数 f（ x）的定义域； （ 2）求函数 f（ x）的零点； （ 3）若函数 f（ x）的最小值为 4，求 a 的值 21已知函数 f（ x） = x，其中（ a R） （ 1）若 a=2，求曲线 y=f（ x）在点（ 1， f（ 1）处的切线方程； （ 2）若函数 y=f（ x）有两个极值点 求实数 a 的取值范围； 证明 f（ 0 22 “开门大吉 ”是某电视台推出的游戏节目选手面对 1 8 号 8 扇大门，依次按响门上的门铃，门铃会播放一段音乐（将一首经典流行歌曲以单音色旋律的方式演绎），选手需正确回答出这首歌的名字， 方可获得该扇门对应的家庭梦想基金在一次场外调查中，发现参赛选手多数分为两个年龄段： 20 30； 30 40（单位：岁），其猜对歌曲名称与否的人数如图所示 （ 1）写出 2 2 列联表；判断是否有 90%的把握认为猜对歌曲名称是否与年龄有关；说明你的理由；（下面的临界值表供参考） 正误 年龄 正确 错误 合计 20 30 第 4 页（共 17 页） 30 40 合计 P（ 2）现计划在这次场外调查中按 年龄段用分层抽样的方法选取 6 名选手，并抽取 2 名幸运选手，求 2 名幸运选手中在 20 30 岁之间的人数的分布列和数学期望 （参考公式： ，其中 n=a+b+c+d 为样本容量） 第 5 页（共 17 页） 2015年四川省雅安市高二（下）期末数学试卷（文科） 参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1设集合 S=x|x 3， T=x| 6 x 1，则 S T=（ ） A 6， +） B（ 3， +） C 6， 1 D（ 3， 1 【考点】 并集及其运算 【分析】 根据并集的定义计算即可 【解答】 解： 集合 S=x|x 3， T=x| 6 x 1， S T= 6， +）， 故选： A 2设 i 是虚数单位，则复数 在复平面内所对应的点位于（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 【考点】 复数代数形式的乘除运算 【分析 】 直接由复数代数形式的乘除运算化简复数 ，求出复数 在复平面内所对应的点的坐标，则答案可求 【解答】 解：由 = ， 则复数 在复平面内所对应的点的坐标为：（ 1， 1），位于第一象限 故选： A 3命题 “ x R，总有 0”的否 定是（ ） A “ xR，总有 0” B “ x R，总有 0” C “ x R，使得 0” D “ x R，使得 0” 【考点】 命题的否定 【分析】 直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可 【解答】 解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题 “ x R，总有 0”的否定为： x R， 0 故选： C 4 “ “”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 【考点】 必要条件、充分条件与充要条件的判断 【分析】 由 可判断出 第 6 页（共 17 页） 【解答】 解：由 “ “”的充分不必要条件 故选： A 5已知函数 则 的值是（ ） A 10 B C 2 D 5 【考点】 函数的值 【分析】 本题求分段函 数的函数值，要弄清自变量是属于哪个范围，从而代入其相应的解析式 【解答】 解： 0， ， 又 2 0， f（ 2） = 即 故选 B 6阅读程序框图，若使输出的结果不大于 11，则输入的整数 i 的最大值为（ ） A 3 B 4 C 5 D 6 【考点】 程序框图 【分析】 按照程序框图的流程写出前几次循环的结果，据题目对输出 s 的要求，求出 n 的最大值，据判断框中 n 与 i 的关系求出 i 的最大值 【解答】 解：模拟程序的运行，可得： 经过第一次循环得到 S=2， n=1， 经过第二次循环得到 S=5， n=2， 经过第三次循环得到 S=10， n=3， 经过第四次循环得到 S=19， n=4， 输出的结果不大于 11 n 的最大值为 2， i 的最大值为 3， 第 7 页（共 17 页） 故选： A 7已知函数 y=2x+ ） 函数的最小正周期 T 和它的图象的一条对称轴方程是（ ） A T=2，一条对称轴方程为 x= B T=2，一条对称轴方程为 x= C T=，一条对称轴方程为 x= D T=，一条对称轴方程为 x= 【考点】 三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象 【分析】 利用 二倍角的余弦公式变形、两角差的正弦公式化简解析式，由三角函数的周期公式求出函数的最小正周期 T，由正弦函数的对称轴方程求出函数的对称轴方程，即可得到答案 【解答】 解：由题意得， y=2x+ ） =1 2x+ ） = ， 由 T= 得，函数的最小正周期是 ， 由 得， ， 当 k=0 时，一条对称轴方程为 x= ， 故选 D 8为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系，随机调查了该社区 5 户家庭，得到如表统计数据表： 收入 x（万元） 出 y（万元） 据上表可得回归直线方程 = x+ ，其中 = = ，据此估计，该社区一户收入为 15 万元家庭年支出 为（ ）万元 A 考点】 线性回归方程 【分析】 计算样本中心，代入回归方程解出 ，得出回归方程，利用回归方程进行预测 【解答】 解： = =10， = =7 =7 10= 第 8 页（共 17 页） 所以回归方程为： = 当 x=15 时， =15 故选 A 9已知函数 f（ x）的部分图象如图所示，则 f（ x）的解析式可能为（ ） A f（ x） =2 ） B f（ x） = 4x+ ） C f（ x） =2 ）D f（ x） =24x+ ） 【考点】 由 y=x+）的部分图象确定其解析式 【分析】 根据函数图象求 出 A， T，求出 ，利用点（ 0， 1）在曲线上，求出 ，得到解析式，判定选项即可 【解答】 解：设函数 f（ x） =x+），由函数的最大值为 2 知 A=2， 又由函数图象知该函数的周期 T=4 （ ） =4， 所以 = ，将点（ 0， 1）代入得 = ， 所以 f（ x） =2x+ ） =2x ） 故选 A 10设复数 z=（ x 1） +（ y ） i，（ x， y R），若 |z| 2，则 y x 的概率为（ ） A B C D 【考点】 几何概型 【分析】 首先由题意画出图形，分别求出圆的面积以及满足 y x 的区域面积，利用几何概型的概率公式解答 第 9 页（共 17 页） 【解答】 解：由 |z| 2，得到（ x 1） 2+（ y ） 2 4，对应的图形为以（ 1， ）为圆心， 2 为半径的圆，面积为 4；满足如 y x 的是图中阴影部分，面积为，如图 所以所求概率为 = = ； 故选： D 11函数 f（ x） =（ x ） x 且 x 0）的图象可能为（ ） A B C D 【考点】 函数的图象 【分析】 先根据函数的奇偶性排除 取 x=，得到 f（ ） 0，排除 C 【解答】 解： f（ x） =（ x+ ） x） =（ x ） f（ x）， 函数 f（ x）为奇函数， 函数 f（ x）的图象关于原点对称，故排除 A， B， 当 x= 时， f（ ） =（ ） 0，故排除 C， 故选： D 12已知定义在 R 上的函数 f（ x）满足 f（ 1） =1，且 f（ x）的导数 f（ x）在 R 上恒有 f（ x） ，则不等式 f（ x） x+ 的解集为（ ） 第 10 页（共 17 页） A（ 1， +） B（ ， 1） C（ 1， 1） D（ ， 1） （ 1， +） 【考点】 利用导数研究函数的单调性 【分析】 由题意，设 g（ x） =f（ x）（ x+ ）， x R；求出 g（ x），判定 g（ x）的单调性，由此求出不等式 f（ x） x+ 的解集 【解答】 解：根据题意，设 g（ x） =f（ x）（ x+ ）， x R； g（ x） =f（ x） 0， g（ x）在 R 上是单调减函数； 又 g（ 1） =f（ 1）（ + ） =0， 当 x 1 时， g（ x） 0 恒成立， 即 f（ x） x+ 的解集是（ 1， +） 故选： A 二、填空题 :本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。请将答案填在答题卷相应位置 13计算 = 20 【考点】 有理数指数幂的化简求值；根式与分数指数幂的互化及其化简运算 【分析】 利用对数的商的运算法则及幂的运算法则求出值 【解答】 解： = 20 故答案为： 20 14某电子商务公司对 1000 名网络购物者 2015 年度的消费情况进行统计，发现消费金额（单位：万元）都在区间 ，其频率分布直方图如图所示在这些购物者中，消费金额在区间 的购物者的人数为 600 【考点】 频率分布直方图 【分析】 频率分布直方图中每一个矩形的面积表示频率，先算出频率，在根据频率和为 1，算出 a 的值，再求出消费金额在区间 的购物者的频率，再求频数 【解答】 解：由题意，根据直方图的性质得（ .5+a+ ，解得 a=3 第 11 页（共 17 页） 由直方图得（ 3+ 1000=600 故答案为： 600 15函数 y=其极值点处的切线方程为 y= 【考点】 函数在某点取得极值的条件；利用导数研究曲线上某点切线方程 【分析】 求出极值点，再结合导数的几何意义即可求出切线的方程 【解答】 解：依题解：依题意得 y=ex+ 令 y=0，可得 x= 1， y= 因此函数 y=其极值点处的切线方程为 y= 故答案为： y= 16将边长为 1m 的正三角形薄铁片，沿一条平行于某边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记 s= ，则 s 的最小值是 【考点】 函数的最值及其几何意义 【分析】 先设剪成的小正三角形的边长为 x，用 x 表示出梯形的周长和面积，从而得到 S 的解析式，然后求 S 的最小值， 方法一：对函数 S 进行求导，令导 函数等于 0 求出 x 的值，根据导函数的正负判断函数的单调性进而确定最小值； 方法二：令 3 x=t，代入整理根据一元二次函数的性质得到最小值 【解答】 解：设剪成的小正三角形的边长为 x，则梯形的周长为 3 x， 梯形的面积为 ， s= （ 0 x 1）， （方法一）利用函数的导数求函数的最小值 令 s（ x） = （ 0 x 1），则 s（ x） = = ， 第 12 页（共 17 页） 令 s（ x） =0， 0 x 1， x= ， 当 0 x 时， s（ x） 0，当 x 1 时， s（ x） 0， x= 时， s（ x）取极小值，也为最小值，且为 （方法二）利用函数的方法求最小值 令 3 x=t（ 2 t 3），则 x=3 t， s（ x） = = = ， 2 t 3， ， 当 即 t= ， x= 时， s（ x）取最小值，且为 故答案为： 三、解答题：本大题共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 . 17（ 1）求 ）的值； （ 2）化简： 【考点】 三角函数的化简求值 【分析】 直接利用诱导公式以及特殊角的三角函数化简 求解即可 【解答】 解：（ 1） ） = 3 ） = ； （ 2） = =1 18命题 p：关于 x 的不等式 0 对 x R 恒成立；命题 q：函数 f（ x） =（ 5 2a） x 是减函数，若 p q 为真， p q 为假，求实数 a 的取值范围 【考点】 复合命题的真假 【分析】 命题 p：关于 x 的不等式 0 对 x R 恒成立，可得 =44 4 0， 2 a 2由命题 q：函数 f（ x） =（ 5 2a） x 是减函数，且 a 2，可得 5 2a 1， a2由 p q 为真， p q 为假，可得命题 p 与 q 必然一真一假解出即可 【解答】 解：命题 p：关于 x 的不等式 0 对 x R 恒成立， =44 4 0，解得 2 a 2 命题 q：函数 f（ x） =（ 5 2a） x 是减函数， 5 2a 1，解得 a 2 p q 为真， p q 为假， 命题 p 与 q 必然一真一假 第 13 页（共 17 页） 当 p 真 q 假时， ，且 a 2，此时 a 当 q 真 p 假时， ，且 a 2，解得 a 2 综上可得实数 a 的取值范围是（ ， 2 19已知函数 f（ x） =x+ ）（ 0）的最小正周期为 （ 1）求 的值； （ 2）求函数 f（ x）在区间 0， 上的取值范围 【考点】 函数 y=x+）的图象变换；三角函数中的恒等变换应用 【分析】 （ ）先根据倍角公式和两角和公式，对函数进行化简，再利用 T= ，进而求得 （ ）由（ ）可得函数 f（ x）的解析式，再根据正弦函数的单调性进而求得函数 f（ x）的范围 【解答】 解：（ ） = 函数 f（ x）的最小正周期为 ，且 0， ，解得 =1 （ ）由（ ）得 ， ， ，即 f（ x）的取值范围为 20已知函数 f（ x） =1 x） +x+3）（ 0 a 1） （ 1）求函数 f（ x）的定义域； （ 2）求函数 f（ x）的零点； （ 3）若函数 f（ x）的最小值为 4，求 a 的值 【考点】 对数函数的值域与最值；对数函数的定义域；函数的零点 【分析】 （ 1）根据对数的真数大于零，列出不等式组并求出解集，函数的定义域用集合或区间表示出来； 第 14 页（共 17 页） （ 2）利用对数的运算性质对解析式进行化简，再由 f（ x） =0，即 2x+3=1，求此方程的根并验证是否在函数的定义域内； （ 3）把函数解析式化简后，利用配方求真数在定义域内的范围，再根据对数函数在定义域内递减，求出函数的最小值 4 利用对数的定义求出 a 的值 【解答】 解：（ 1）要使函数有意义：则有 ，解之得： 3 x 1， 则函数的定义域为：（ 3， 1） （ 2）函数可化为 f（ x） =1 x）（ x+3） = 2x+3） 由 f（ x） =0，得 2x+3=1， 即 x 2=0， ， 函数 f（ x）的零点是 （ 3）函数可化为： f（ x） =1 x）（ x+3） = 2x+3） =（ x+1） 2+4 3 x 1， 0 （ x+1） 2+4 4， 0 a 1， （ x+1） 2+4 即 f（ x） 4，得 a 4=4， 21已知函数 f（ x） = x，其中（ a R） （ 1）若 a=2，求曲线 y=f（ x）在点（ 1， f（ 1）处的切线方程； （ 2）若函数 y=f（ x）有两个极值点 求实数 a 的取值范围； 证明 f（ 0 【考点】 利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的极值 【分析】 （ 1）当 a=2 时，求得 f（ x）的解析式和导数，可得切线的斜率和切点，由点斜式方程可得切线的方程； （ 2） 求得 f（ x）的导数，可得 f（ x） = 有两个不同的实根，讨论当 a 0 时，当 a 0 时，判断单调性可得极大值大于 0，解不等式即可得到所求范围； 由 知 ， f（ 极小值， f（ 极大值，由 f（ =0，求得 f（ 运用二次函数的单调性，可得 f（ f（ 0） =0 【解答】 解：（ 1）当 a=2 时， f（ x） =x， f（ x） =2x， 可得 f（ 1） = 2， f（ 1） = 2， 曲线 y=f（ x）在（ 1， f（ 1）处的切线方程为 y+2= 2（ x 1）， 即为 y= 2x； （ 2） f（ x） =数 y=f（ x）有两个极值点 即 f（ x） = 有两个不同的实根， 当 a 0 时， f（ x）单调递增， f（ x） =0 不可能有两个不同的实根； 当 a 0 时，设 h（ x） =h（ x） = ， 第 15 页（共 17 页） 若 0 x 时， h（ x） 0， h（ x）单调递增， 若 x 时， h（ x） 0， h（ x）单调递减， 可得 h（ x）的极大值 h（ ） = 1