16年数学竞赛全国联考卷 2017.docx

16年数学竞赛全国联考卷 2017/4/16 命题人：刘老师 学号_. 姓名_.一选择题 (每小题4分，共28分）1. 用表示不超过的最大整数，把称为的小数部分.已知，是的小数部分，是的小数部分，则A. B. C. D.2. 三种图书的单价分别为10元、15元和20元，某学校计划恰好用500元购买上述图书30本，那么不同的购书方案有A.9种 B.10种 C.11种 D.12种3. 如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的立方差，则称这个正整数为“和谐数”.如： 和均为“和谐数”.那么，不超过的正整数中，所有的“和谐数”之和为A.6858 B.6860 C.9260 D.92624. 已知二次函数的图象的顶点在第二象限，且过点.当为整数时，A.0 B. C. D.5. 已知O的半径D垂直于弦,交于点，连接并延长交O于点,若,则的面积为A.12 B.15 C.16 D.18 6. 如图，在四边形中，,对角线的交点为，则A. B. C. D 7. 设实数满足 则的最大值为A. B. C. D.1 第卷（非选择题 共12道填空题10道解答题）请将你认为正确的答案代号填在下表中1234567二.简答题 （每小题3分，共18分)8. 已知的顶点、在反比例函数（）的图象上，,轴，点在点的上方，且则点的坐标为_.9. 已知的最大边上的高线和中线恰好把三等分，,则_.10. 在四边形中，,平分,为对角线的交点，则_.11. 有位学生忘记写两个三位数间的乘号，得到一个六位数，这个六位数恰好为原来两个三位数的乘积的3倍，这个六位数是_.12. 若质数、满足：则的最大值为_.13. 将5个1、5个2、5个3、5个4、5个5共25个数填入一个5行5列的表格内（每格填入一个数），使得同一列中任何两数之差的绝对值不超过2.考虑每列中各数之和，设这5个和的最小值为,则的最大值为_.三.解答题 （共74分)14. 已知为正整数，求能取到的最小正整数值.15. 如图，点在以为直径的O上，于点,点在上，四边形是正方形，的延长线与O交于点.证明:.16. 已知： 求的值.17. 已知正实数满足： ,且 .(1)求的值.(2)证明:.18. 如图，在等腰中,为边上异于中点的点，点关于直线的对称点为点,的延长线与的延长线交于点 求的值.16年数学竞赛全国联考卷参考答案（仅供参考）1234567ACBBADC1. 【解析】 即 又 故选A. 2. 【解析】设购买三种图书的数量分别为则，即，解得 依题意得，为自然数（非负整数），故有种可能的取值（分别为，对于每一个值，和都有唯一的值（自然数）相对应. 即不同的购书方案共有11种，故选C. 3. 【解析】 （其中为非负整数），由得， ，即得所有不超过2016的“和谐数”，它们的和为故选B.4. 【解析】依题意知 故 且，于是 又为整数， 故，故选B.5. 【解析】设则于在中， 即解得，即 为的中位线， 是O的直径， 故选A. 6. 【解析】过点作于点则 设 则 在中， 则 显然，化简整理得解得（不符合题意，舍去），故在中，,故选D. 7. 当且仅当时，取等号，故，故选C.二.简答题答案:8. .【解析】如图，过点作于点.在中，在中， ,设，依题意知故，于是 解得，故点的坐标为.9. 2依题意得, 故. (1)若时，如答案图1所示， 又平分 在中，即 从而.在中， 在中，. (2)若时，如答案图2所示.同理可得.综上所述，10. 1260【解析】设, 平分, , 解得，,故.11. 167334【解析】设两个三位数分别为，则，故是的正整数倍，不妨设（为正整数），代入得是三位数，解得为正整数，的可能取值为验证可知，只有符合，此时 故所求的六位数为. 12. 1007【解析】由得，因为质数，故的值随着质数的增大而增大，当且仅当取得最大值时，取得最大值.又，因为质数，故的可能取值为，但时，不是质数，舍去.当时,恰为质数.故. 13. 10 【解析】(依据5个1分布的列数的不同情形进行讨论,确定的最大值.(1)若5个1分布在同一列，则；(2)若5个1分布在两列中，则由题意知这两列中出现的最大数至多为3，故,故;(3) 若5个1分布在三列中，则由题意知这三列中出现的最大数至多为3，故,故;(4) 若5个1分布在至少四列中，则其中某一列至少有一个数大于3，这与已知矛盾.综上所述，另一方面，如下表的例子说明可以取到10.故的最大值为1114511245222453324533345三.解答题答案:14. 解：因为正整数，要使得的值为正整数，则有.当时，只能为1，此时故能取到的最小正整数值不超过4.当时，只能为1或2.若;若，则.当时，只能为1或2或3.若;若;若则.(下面考虑：的值能否为1？)（反证法）假设，则，即， 因为正整数，故为奇数，从而为奇数，为偶数，不妨设，其中均为正整数，则 即被除所得余数为3，而被4除所得余数为1，故式不可能成立，故.因此，能取到的最小正整数值为2.15. 【证明】：连接、为O的直径，于点由四边形是正方形及于点可知:点在上，以点为圆心、为半径作F与直线交于另一点,则F与切于点,即是F的切线，直线是F的割线，故由切割线定理得,即点与点重合，点在F上，.(注：上述最后一段得证明用了“同一法”)16. 【解析】由已知得由恒等式得，又同理可得原式=【注：恒等式】17. 【解析】（1）解：由等式，去分母得， ，原式=（2）证明：由（1）得计算过程知，又为正实数,.【注：】18. 【解