2018年高考圆锥曲线大题.doc

2018年高考圆锥曲线大题一解答题（共13小题）1已知斜率为k的直线l与椭圆C：+=1交于A，B两点，线段AB的中点为M（1，m）（m0）（1）证明：k；（2）设F为C的右焦点，P为C上一点，且+=证明：|，|，|成等差数列，并求该数列的公差2已知斜率为k的直线l与椭圆C：+=1交于A，B两点，线段AB的中点为M（1，m）（m0）（1）证明：k；（2）设F为C的右焦点，P为C上一点，且+=，证明：2|=|+|3双曲线=1，F1、F2为其左右焦点，C是以F2为圆心且过原点的圆（1）求C的轨迹方程；（2）动点P在C上运动，M满足=2，求M的轨迹方程4设椭圆C：+y2=1的右焦点为F，过F的直线l与C交于A，B两点，点M的坐标为（2，0）（1）当l与x轴垂直时，求直线AM的方程；（2）设O为坐标原点，证明：OMA=OMB5已知椭圆M：+=1（ab0）的离心率为，焦距为2斜率为k的直线l与椭圆M有两个不同的交点A，B（）求椭圆M的方程；（）若k=1，求|AB|的最大值；（）设P（2，0），直线PA与椭圆M的另一个交点为C，直线PB与椭圆M的另一个交点为D若C，D和点Q（，）共线，求k6设常数t2在平面直角坐标系xOy中，已知点F（2，0），直线l：x=t，曲线：y2=8x（0xt，y0）l与x轴交于点A、与交于点BP、Q分别是曲线与线段AB上的动点（1）用t表示点B到点F的距离；（2）设t=3，|FQ|=2，线段OQ的中点在直线FP上，求AQP的面积；（3）设t=8，是否存在以FP、FQ为邻边的矩形FPEQ，使得点E在上？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由7已知抛物线C：y2=2px经过点P（1，2），过点Q（0，1）的直线l与抛物线C有两个不同的交点A，B，且直线PA交y轴于M，直线PB交y轴于N（）求直线l的斜率的取值范围；（）设O为原点，=，=，求证：+为定值8设椭圆+=1（ab0）的右顶点为A，上顶点为B已知椭圆的离心率为，|AB|=（）求椭圆的方程；（）设直线l：y=kx（k0）与椭圆交于P，Q两点，1与直线AB交于点M，且点P，M均在第四象限若BPM的面积是BPQ面积的2倍，求k的值9设抛物线C：y2=4x的焦点为F，过F且斜率为k（k0）的直线l与C交于A，B两点，|AB|=8（1）求l的方程；（2）求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程10设椭圆+=1（ab0）的左焦点为F，上顶点为B已知椭圆的离心率为，点A的坐标为（b，0），且|FB|AB|=6（）求椭圆的方程；（）设直线l：y=kx（k0）与椭圆在第一象限的交点为P，且l与直线AB交于点Q若=sinAOQ（O为原点），求k的值11已知椭圆C：，直线l：y=kx+1（k0）与椭圆C相交于A，B两点，D为AB的中点（1）若直线l与直线OD（O为坐标原点）的斜率之积为，求椭圆.的方程；（2）在（1）的条件下，y轴上是否存在定点M使得当k变化时，总有AMO=BMO（O为坐标原点）若存在，求出定点M的坐标；若不存在，请说明理由12已知椭圆：的离心率为，椭圆的四个顶点围成的四边形的面积为4（）求椭圆的标准方程；（）直线l与椭圆交于A，B两点，AB的中点M在圆x2+y2=1上，求AOB（O为坐标原点）面积的最大值13如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆+=1（ab0）的离心率为，两条准线之间的距离为4（1）求椭圆的标准方程；（2）已知椭圆的左顶点为A，点M在圆x2+y2=上，直线AM与椭圆相交于另一点B，且AOB的面积是AOM的面积的2倍，求直线AB的方程2018年高考圆锥曲线大题参考答案与试题解析一解答题（共13小题）1已知斜率为k的直线l与椭圆C：+=1交于A，B两点，线段AB的中点为M（1，m）（m0）（1）证明：k；（2）设F为C的右焦点，P为C上一点，且+=证明：|，|，|成等差数列，并求该数列的公差【解答】解：（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），线段AB的中点为M（1，m），x1+x2=2，y1+y2=2m将A，B代入椭圆C：+=1中，可得，两式相减可得，3（x1+x2）（x1x2）+4（y1+y2）（y1y2）=0，即6（x1x2）+8m（y1y2）=0，k=点M（1，m）在椭圆内，即，解得0m（2）证明：设A（x1，y1），B（x2，y2），P（x3，y3），可得x1+x2=2，+=，F（1，0），x11+x21+x31=0，y1+y2+y3=0，x3=1，y3=（y1+y2）=2mm0，可得P在第四象限，故y3=，m=，k=1由椭圆的焦半径公式得则|FA|=aex1=2x1，|FB|=2x2，|FP|=2x3=则|FA|+|FB|=4，|FA|+|FB|=2|FP|，联立，可得|x1x2|=所以该数列的公差d满足2d=|x1x2|=，该数列的公差为2已知斜率为k的直线l与椭圆C：+=1交于A，B两点，线段AB的中点为M（1，m）（m0）（1）证明：k；（2）设F为C的右焦点，P为C上一点，且+=，证明：2|=|+|【解答】解：（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），线段AB的中点为M（1，m），x1+x2=2，y1+y2=2m将A，B代入椭圆C：+=1中，可得，两式相减可得，3（x1+x2）（x1x2）+4（y1+y2）（y1y2）=0，即6（x1x2）+8m（y1y2）=0，k=点M（1，m）在椭圆内，即，解得0mk=（2）证明：设A（x1，y1），B（x2，y2），P（x3，y3），可得x1+x2=2+=，F（1，0），x11+x21+x31=0，x3=1由椭圆的焦半径公式得则|FA|=aex1=2x1，|FB|=2x2，|FP|=2x3=则|FA|+|FB|=4，|FA|+|FB|=2|FP|，3双曲线=1，F1、F2为其左右焦点，C是以F2为圆心且过原点的圆（1）求C的轨迹方程；（2）动点P在C上运动，M满足=2，求M的轨迹方程【解答】解：（1）由已知得a2=12，b2=4，故c=4，所以F1（4，0）、F2（4，0），因为C是以F2为圆心且过原点的圆，故圆心为（4，0），半径为4，所以C的轨迹方程为（x4）2+y2=16；（2）设动点M（x，y），P（x0，y0），则=（x+4，y），由，得（x+4，y）=2（x0x，y0y），即，解得，因为点P在C上，所以，代入得，化简得4设椭圆C：+y2=1的右焦点为F，过F的直线l与C交于A，B两点，点M的坐标为（2，0）（1）当l与x轴垂直时，求直线AM的方程；（2）设O为坐标原点，证明：OMA=OMB【解答】解：（1）c=1，F（1，0），l与x轴垂直，x=1，由，解得或，A（1.），或（1，），直线AM的方程为y=x+，y=x，证明：（2）当l与x轴重合时，OMA=OMB=0，当l与x轴垂直时，OM为AB的垂直平分线，OMA=OMB，当l与x轴不重合也不垂直时，设l的方程为y=k（x1），k0，A（x1，y1），B（x2，y2），则x1，x2，直线MA，MB的斜率之和为kMA，kMB之和为kMA+kMB=+，由y1=kx1k，y2=kx2k得kMA+kMB=，将y=k（x1）代入+y2=1可得（2k2+1）x24k2x+2k22=0，x1+x2=，x1x2=，2kx1x23k（x1+x2）+4k=（4k34k12k3+8k3+4k）=0从而kMA+kMB=0，故MA，MB的倾斜角互补，OMA=OMB，综上OMA=OMB5已知椭圆M：+=1（ab0）的离心率为，焦距为2斜率为k的直线l与椭圆M有两个不同的交点A，B（）求椭圆M的方程；（）若k=1，求|AB|的最大值；（）设P（2，0），直线PA与椭圆M的另一个交点为C，直线PB与椭圆M的另一个交点为D若C，D和点Q（，）共线，求k【解答】解：（）由题意可知：2c=2，则c=，椭圆的离心率e=，则a=，b2=a2c2=1，椭圆的标准方程：；（）设直线AB的方程为：y=x+m，A（x1，y1），B（x2，y2），联立，整理得：4x2+6mx+3m23=0，=（6m）2443（m21）0，整理得：m24，x1+x2=，x1x2=，|AB|=，当m=0时，|AB|取最大值，最大值为；（）设直线PA的斜率kPA=，直线PA的方程为：y=（x+2），联立，消去y整理得：（x12+4x1+4+3y12）x2+12y12x+（12y123x1212x112）=0，由代入上式得，整理得：（4x1+7）x2+（124x12）x（7x12+12x1）=0，x1xC=，xC=，则yC=（+2）=，则C（，），同理可得：D（，），由Q（，），则=（，），=（，），由与三点共线，则=，整理得：y2x2=y1x1，则直线AB的斜率k=1，k的值为16设常数t2在平面直角坐标系xOy中，已知点F（2，0），直线l：x=t，曲线：y2=8x（0xt，y0）l与x轴交于点A、与交于点BP、Q分别是曲线与线段AB上的动点（1）用t表示点B到点F的距离；（2）设t=3，|FQ|=2，线段OQ的中点在直线FP上，求AQP的面积；（3）设t=8，是否存在以FP、FQ为邻边的矩形FPEQ，使得点E在上？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由【解答】解：（1）方法一：由题意可知：设B（t，2t），则|BF|=t+2，|BF|=t+2；方法二：由题意可知：设B（t，2t），由抛物线的性质可知：|BF|=t+=t+2，|BF|=t+2；（2）F（2，0），|FQ|=2，t=3，则|FA|=1，|AQ|=，Q（3，），设OQ的中点D，D（，），kQF=，则直线PF方程：y=（x2），联立，整理得：3x220x+12=0，解得：x=，x=6（舍去），AQP的面积S=；（3）存在，设P（，y），E（，m），则kPF=，kFQ=，直线QF方程为y=（x2），yQ=（82）=，Q（8，），根据+=，则E（+6，），（）2=8（+6），解得：y2=，存在以FP、FQ为邻边的矩形FPEQ，使得点E在上，且P（，）7已知抛物线C：y2=2px经过点P（1，2），过点Q（0，1）的直线l与抛物线C有两个不同的交点A，B，且直线PA交y轴于M，直线PB交y轴于N（）求直线l的斜率的取值范围；（）设O为原点，=，=，求证：+为定值【解答】解：（）抛物线C：y2=2px经过点P（1，2），4=2p，解得p=2，设过点（0，1）的直线方程为y=kx+1，设A（x1，y1），B（x2，y2）联立方程组可得，消y可得k2x2+（2k4）x+1=0，=（2k4）24k20，且k0解得k1，且k0，x1+x2=，x1x2=，又PA、PB要与y轴相交，直线l不能经过点（1，2），即k3，故直线l的斜率的取值范围（，3）（3，0）（0，1）；（）证明：设点M（0，yM），N（0，yN），则=（0，yM1），=（0，1）因为=，所以yM1=yM1，故=1yM，同理=1yN，直线PA的方程为y2=（x1）=（x1）=（x1），令x=0，得yM=，同理可得yN=，因为+=+=+=2，+=2，+为定值8设椭圆+=1（ab0）的右顶点为A，上顶点为B已知椭圆的离心率为，|AB|=（）求椭圆的方程；（）设直线l：y=kx（k0）与椭圆交于P，Q两点，1与直线AB交于点M，且点P，M均在第四象限若BPM的面积是BPQ面积的2倍，求k的值【解答】解：（1）设椭圆的焦距为2c，由已知可得，又a2=b2+c2，解得a=3，b=2，椭圆的方程为：，（）设点P（x1，y1），M（x2，y2），（x2x10）则Q（x1，y1）BPM的面积是BPQ面积的2倍，|PM|=2|PQ|，从而x2x1=2x1（x1），x2=5x1，易知直线AB的方程为：2x+3y=6由，可得0由，可得，18k2+25k+8=0，解得k=或k=由0可得k，故k=，9设抛物线C：y2=4x的焦点为F，过F且斜率为k（k0）的直线l与C交于A，B两点，|AB|=8（1）求l的方程；（2）求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程【解答】解：（1）方法一：抛物线C：y2=4x的焦点为F（1，0），设直线AB的方程为：y=k（x1），设A（x1，y1），B（x2，y2），则，整理得：k2x22（k2+2）x+k2=0，则x1+x2=，x1x2=1，由|AB|=x1+x2+p=+2=8，解得：k2=1，则k=1，直线l的方程y=x1；方法二：抛物线C：y2=4x的焦点为F（1，0），设直线AB的倾斜角为，由抛物线的弦长公式|AB|=8，解得：sin2=，=，则直线的斜率k=1，直线l的方程y=x1；（2）由（1）可得AB的中点坐标为D（3，2），则直线AB的垂直平分线方程为y2=（x3），即y=x+5，设所求圆的圆心坐标为（x0，y0），则，解得：或，因此，所求圆的方程为（x3）2+（y2）2=16或（x11）2+（y+6）2=14410设椭圆+=1（ab0）的左焦点为F，上顶点为B已知椭圆的离心率为，点A的坐标为（b，0），且|FB|AB|=6（）求椭圆的方程；（）设直线l：y=kx（k0）与椭圆在第一象限的交点为P，且l与直线AB交于点Q若=sinAOQ（O为原点），求k的值【解答】解：（）设椭圆+=1（ab0）的焦距为2c，由椭圆的离心率为e=，=；又a2=b2+c2，2a=3b，由|FB|=a，|AB|=b，且|FB|AB|=6；可得ab=6，从而解得a=3，b=2，椭圆的方程为+=1；（）设点P的坐标为（x1，y1），点Q的坐标为（x2，y2），由已知y1y20；|PQ|sinAOQ=y1y2；又|AQ|=，且OAB=，|AQ|=y2，由=sinAOQ，可得5y1=9y2；由方程组，消去x，可得y1=，直线AB的方程为x+y2=0；由方程组，消去x，可得y2=；由5y1=9y2，可得5（k+1）=3，两边平方，整理得56k250k+11=0，解得k=或k=；k的值为或11已知椭圆C：，直线l：y=kx+1（k0）与椭圆C相交于A，B两点，D为AB的中点（1）若直线l与直线OD（O为坐标原点）的斜率之积为，求椭圆.的方程；（2）在（1）的条件下，y轴上是否存在定点M使得当k变化时，总有AMO=BMO（O为坐标原点）若存在，求出定点M的坐标；若不存在，请说明理由【解答】解：（1）由得（4+a2k2）x2+2a2kx3a2=0，显然0，设A（x1，y1），B（x2，y2），D（x0，y0），则，=a2=8所以椭圆C的方程为（2）假设存在定点M，且设M（0，m），由AMO=BMO得kAM+kBM=0即y1x2+y2x1m（x1+x2）=0，2kx1x2+x1+x2m（x1+x2）=0由（1）知，m=4所以存在定点M（0，4）使得A