18概率统计单元测试题及参考答案100510.doc

概率统计单元测试题(总分90分，110分钟完成)班级：(A08或A09) 学号： 姓名：测验时间：20100513一、填空题（每小题3分，共15小题，满分45分）1三台机器相互独立运转，设第一、第二、第三台机器不发生故障的概率依次为0.9、0.8、0.7，则这三台机器中至少有一台发生故障的概率为_；解：设A=第一台机器不发生故障；B=第二台机器不发生故障；C=第三台机器不发生故障；则三台机器都不发生故障；则所以：2一射手对同一目标独立地进行射击，直到射中目标为止，已知每次命中率为，则射击次数的数学期望为_；解：设X=第K次击中目标，由于这个分布为几何分布（参见P112）,由几何分布性质可知： 说明：几何分布的概率分布其期望，方差为3设二维离散型随机变量的联合分布律为 XY12311/61/91/1821/3ab则常数与应满足的条件是_ a+ b=1/3_；若与相互独立，则_2/9_， _1/9_；解：（1）由分布律性质可以知：1/6+1/9+1/18+1/3+ a+ b=1可以解得：a+ b=1/3（2）由分布律性质可以知：P(X=2)= 1/9+ a；P（Y=1）=1/3;由与相互独立，所以P（X=2，Y=1）=P(X=2) P（Y=1）=（1/9+ a）*1/3=1/9，可以解得a=2/9，b=1/94设随机向量，且随机变量，则 ；解：又,所以所以所以说明：（1）X 的方差 表示真实值与期望值（平均值）的偏离程度。（2）协方差 （3）相关系数（4）期望的运算：（5）方差的运算：（6）协方差的计算 5设是从正态总体中抽取的一个样本， 是其样本均值，则有_；_ 。 解:本题运用数理统计的相关知识，参加P150（1）样本的修正方差,由（参加P176）所以。或者由参见教材P158知，由因为(教材P152),所以, 所以（2），所以所以说明：参见P157设总体(1) (2) （3） （4） 6设A、B为两个随机事件，而且，则 _；解：因为，所以又因为：说明：（1）随机事件及其概率吸收律： 减法：反演律： （2）概率的定义及其计算若 对任意两个事件A, B, 有 加法公式：对任意两个事件A, B, 有 7一射手对同一目标独立地进行了4次射击，已知至少击中一次的概率为，则该射手每次射击的命中率为_；解:设X=击中次数，P为每次击中的概率则解得 8设随机变量，若随机变量与相互独立，且随机变量，则；解:又随机变量与相互独立所以所以9设随机变量服从二项分布，且,，则参数_；解：因为随机变量服从二项分布，所以，解得 说明：二项分布，其概率分布函数为：其期望,方差10设总体的二阶矩存在，且 ，若是从该总体中取出的一个样本， 是其样本均值，则 _。解：11已知A、B是两个随机事件，满足条件，且，则 _；解：因为所以,又，所以12已知随机变量服从区间2，3上的均匀分布，则_；解：因为随机变量服从区间2，3上的均匀分布，所以随机变量的概率密度函数为 说明：数学期望的计算方法（离散型）（连续型）13设随机变量， ，则；解：又,所以所以所以 14设是从正态总体中抽取的一个样本， 是其样本均值，则_； 若 ，则_；解：（1）参见教材P158， 其证明过程参见高等教育出版社概率论与数理统计教程P274（2）说明：设总体(1) (2) （3） （4） 15设总体，若是从该总体中抽取的一个样本，为样本均值，则。解：因为总体，若是从该总体中抽取的一个样本所以,所以，既说明：设总体 二、单项选择题（每小题3分，共10小题，满分30分。）1.设随机变量X的分布函数为概率密度为，则的值为_；A； B； C0； D.解：随机变量X是连续的，所以在某一点的概率为0，既答案选C2.设随机变量X的分布函数为，则Y = 2X的概率密度为_ _；A；B；C ;D .解:因为随机变量X的分布函数为，所以Y = 2X的分布函数为所以随机变量Y的概率密度函数为：答案选B3设是从正态总体中抽取的一个样本，表示样本均值，则有_。A; B;C; D.解:由填空题第15小题知：设总体，若是从该总体中抽取的一个样本，为样本均值，则所以答案选B4对于任意两个随机事件A与B，有为_ _； A； B；C； DABBA解：用文氏图求解答案选C说明：（1） (2) 若 对任意两个事件A, B, 有 5设X与Y是相互独立的随机变量，分布函数分别为及，则的分布函数为_；A； B；C； D解：因为X与Y是相互独立的随机变量，分布函数分别为及且答案选D说明:已知X的分布函数，如何求的分布函数和概率密度：6. 设随机变量的分布函数为 则_；A； B； C； D.解;因为随机变量的分布函数为 : 所以随机变量的概率密度函数为答案选B7设A，B为随机事件，P(B)0，P(A|B)=1,则必有( )AP(AB)P(A)； B；CP(A)P(B)； DP(AB)P(A).解：,所以所以答案选A说明：（1）条件概率 （2）乘法公式(3) 全概率公式 (4) Bayes公式 8已知随机变量X的概率密度为，令Y2X，则Y的概率密度为( )；A； B； C； D.解：所以Y的概率密度为答案选D9.已知随机变量X和Y相互独立，且它们分别在区间-1,3和2,4上服从均匀分布，则E(XY)( )；A3； B6； C10； D12.解：由均匀分布的性质我们知道：E(X)=1，E(Y)=3；又随机变量X和Y相互独立，所以E(XY)E(X) E(Y)=3答案选A 10设F (x)为标准正态分布函数，且P(A)=0.8，X1，X2，X100相互独立。令，则由中心极限定理知Y的分布函数F(y)近似于( )。AF (y)； B； C； D.解：由，可以知道，服从分布；所以，所以，所以（中心极限定理）所以答案选B说明：中心极限定理（P141）定理5.2.2（莱维中心极限定理）设独立同分布服从相同的分布，并且有数学期望和方差：，则当时，他们的极限的和的分布是正态分布，即 如何运用莱维中心极限定理:（1）计算的期望和方差：（2）近似正态分布 （3）标准化 三、计算题（本题8分）某厂生产的产品以100件为一批，进行检验时，只从每批中任取10件，如果发现其中有次品，则认为这批产品不合格。假定每批产品中的次品数最多不超过4件，并且次品数从0到4是等可能的。 (1) 求一批产品通过检验的概率；(2)若已知产品通过检验，求该批产品中有3件次品的概率。解 (1)；B=产品通过检验；(1分)；(5分) (6分)(2)由逆概公式 (8分) 说明:(1) 条件概率 (2) 乘法公式(3) 全概率公式 (4) Bayes公式 四、计算题（本题7分）设二维随机向量(，)服从区域内的均匀分布，求(1)随机向量(，)的联合密度函数；(2) 与的边缘密度函数；(