三角函数公式变形及其应用.doc

三角函数公式变形及其应用邓星月 数学学院 数学与应用数学2010级1班 学号 20100513104摘要 三角函数具有公式多,变形多,应用广的特点,本文将对三角函数诱导公式,和差化积,积化和差,倍角公式,半角公式,万能公式及其应用做简单的整理及梳理,其中包括自制口诀,希望能够加强记忆.关键词: 三角函数 诱导公式 倍角公式 万能公式正文一,三角函数的定义1,定义域:正忌纵,余忌横,但要除开正余弦.2,符号法则(函数值变化情况)正弦函数在一二象限为正,三四象限为负;余弦函数在一四象限为正,二三象限为负;正切函数在一三象限为正,二四象限为负.3,正弦线,余弦线,正切线.当角在第一象限:tanxsinx sinxtanx4,sinx cosx: x2k+,2k例1:已知x(0,)且sinx+cosx=1/2求:sinxcosx sinx-cosx tanx解:由sinx+cosx=1/2 得1+2sinxcosx=1/4 Sinxcosx=-3/80 X(/2) Sinx-cosx0又(sinx-cosx)2=1-2sinxcosx=1+3/4=7/4 Sinx-cosx=7/2 由得:sinx=(1+7)/4,cosx=(1-7)/4tanx=sinx/cosx=(1+7)/(1-7)例2:y=asinx+bcosx =(a2+b2)(a/(a2+b2)siax+(b/(a2+b2)cosx =(a2+b2)sin(x+)二,诱导公式.1,口诀:负角函数正角算 sin(-x)=-sinx;cos(-x)=cosx;tan(-x)=-tanx 终边相同函数等:sin(2k+x)=sinx 纵轴要变横不变:把x看成锐角,看原函数符号 函数符号看象限:sin(3/2)k+x)=-cosx例3:f(x)= sin（x-）cos2-x3、 、/2、/3、2之间的关系1、 /2一二三四/2一三一三二四二四（2k，2k+）例4、为二象限角，且cos/2-sin/2=（1-sin），求/2所在象限。解：cos/2-sin/2=Isin/2-cos/2I cos/2sin/2由图可知，/2为一或三象限故/2为第一象限2、 /3一二三四/3一二三一二四一三四二三四例5、若为第一象限角，下列能确定为正的是（C）A、 sin/2 B、cos/2 C、tan/2 D、cos23、 2一二三四2一二三四一二三四4、 三角形中的隐含条件。1、 A+B+C= （A+B)/2=/2-C/2 Sin（A+B)=sin（-C）=sinC sin（A+B)/2=cosC/2 Cos（A+B）=cos（-C）=-cosC cos（A+B)/2=sinC/2 Tan（A+B)=tan（-C）=-tanC tan（A+B)/2=cotC/22、锐角 ABC中，A+B90，则任一角的正弦大于另两角的余弦。证明：A+B90 A90-B sinAsin（90-B) sinAcosB同理，sinAcosC3、 a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R （正弦定理）拓展：分子分母都是齐次的，边角互换，得a/b=sinA/sinB ab/c2=(sinAsinB)/sin2C4、 a2=b2+c2-2bccosA （余弦定理）即，cosA=（b2+c2-a2）/2bc例6、在 ABC中，求证：、sinA+sinB+sinC=4cosA/2cosB/2cosC/2、tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC和差化积公式： 口诀：Sin+sin=2sin（+）/2cos（-）/2 正弦加减正余余正Sin-sin=2cos（+）/2sin（-）/2 余弦加减余余正正Cos+cos=2cos（+）/2cos（-）/2 和差取半前有二Cos-cos=-2sin（+）/2sin（-）/2 余弦相减负在前证明：例6、sinA+sinB+sinC =2sin（A+B)/2cos（A+B)/2+2sinC/2cosC/2 =2cosC/2cos（A-B)/2+2cos（A+B)/2cosC/2 =2cosC/2（cos（A-B)/2+cos（A+B)/2) =4cosC/2cosA/2cosS/2 、tan（+）=（tan+tan）/（1-tantan） Tan+tan=tan（+）（1-tantan） 左边=tanA+tanB+tanC =tan(A+B) (1-tanAtanB)+tanC =-tanC+tanAtanBtanC+tanC =tanAtanBtanC和差公式： 口诀：Sin（）=sincoscossin 两角和差算正弦，正余余正号同前；Cos（）=coscos-+sinsin 两角和差算余弦，余余正正号相反。tan（+）=（tan+tan）/（1-tantan） Tan+tan=tan（+）（1-tantan）积化和差公式： 口诀：Sincos=1/2sin（+）+sin（-） 正余正相加，余余余相加；Coscos=1/2cos（+）+cos（-） 正正余相减，符号去管它。Sinsin=1/2cos（+）-cos（-） （正弦的角减余弦的角）倍角公式：Sin2=2sinsinCos2=cos-sin=（cos+sin）（cos-sin）=2cos-1 =1-2sin降次公式：cos=（1+cos2）/2 （降次升角，正减余加） sin=（1-cos2）/2 半角公式：sin/2=（1-cos）/2 Cos/2=（1+cos）/2 Tan/2=(1-cos)/(1+cos) tan/2=(sin/2)/( cos/2)=(2sin/2)/(2sin/2cos/2)=(1-cos)/sin cot/2=(cos/2)/(sin/2)=（2cos/2）/（2sin/2cos/2）=（1+cos）/sin tan/2=(1-cos)/sin=sin/（1+cos） （正减余加，对角线法则） cot/2=（1+cos）/sin=sin/（1-cos）万能公式：sin2=2sincos=2sincos/（sin+cos）=2t/（1+t） （t=tan） Cos2=（1-t）/（1+t） Tan2=2t/（1-t）常见勾股数：3,4,5； 已知一个三角函数，求其三角函数，如：sin=16/65， 5,12,13； 7,24,25； 65 8,15,17； 16 9,40,41； 11,60,61； 16,63,65； 63三倍角方式： 口诀： sin3=3sin-4sin 一次三次乘三四， cos3=-3cos+4cos 正负负正莫忘记。其它式子：、+=n，（nZ），则：tan+tan+tan=tantantan、+=n+/4，（nZ）则：Tan+tan=tan（+）（1-tantan）=1-tantanTan+tan+tantan+1=2（tan+1）（tan+1）=2例7、（1+tan1）（1+tan2）（1+tan45）=223、+=n-/4（nR），则：（tan-1）（tan-1）=2例8、tan70+tan50-3tan70tan50 =tan120（1-tan70tan50）-3tan70tan50 =-3例9、tan43tan17+tan17tan30+tan43tan30=1例10、锐角 ABC中，P(cosB-sinA，sinB-cosA）在第二象限。例11、已知sin（x-3/4）cos（x-/4）=-1/4，求cos4x。 解：sin（x-3/4）cos（x-/4）=1/2sin(2x-)+sin(-/2)=1/2(-sin2x-1)=-1/4 故:sin2x=-1/2 Cos4x=1-2sin2x=1/2例12、已知sin+sin=1/2 ，cos+cos ，求cos（-）/2，tan（+）. 口诀：要求差，两边平方再相加；要求和，和差化积求半角。 解：+=2+2cos（-）=1/4+1/9=13/36 Cos（-）=-59/72 cos（-）/2=1+cos（-)/2=13/144 由: 2sin（+）/2cos（-）/2=1/2 2cos（+）/2cos（-）/2=1/3 故：tan（+）/2=3/2=t Tan（+）=2t/（1-t）=-12/5例13、若sin+sin=2/2 ，求cos+cos的取值范围。 解：设m=cos+cos +=2+2cos（-）=1/2+m Cos（-）=m/2-3/4 因为Icos（-）I1 所以Im/2-3/4I1, 故-14/2M14/2例14、在 ABC中，3sinA+4cosB=6,4sinB+3cosA=1，求C。 解：两式平方相加：9+16+24sin（A+B)=36+1 得：sin（A+B）=1/2 sinC=1/2 C=30或150 4sinB=1-3cosA0 cosA1/360，故C=301与余弦加减可消项： 1与正弦加减可配方：1+cos2=2cos 1+sin2=（sin+cos）1-cos2=2sin 1-sin2=(sin-cos)例15、求证：（1+sin2-cos2）/（1+sin2+cos2)=tan. 证明：=(sin+cos)-(sin+cos)(cos-sin)/(sin+cos)+(sin+cos)(cos-