系统可靠性评定的熵法近似限.docx

系统可靠性评定的熵 (法) 近似限施军(南京航空航天大学无人驾驶飞机研究所, 南京, 210016)A PPRO X IM A TE L IM ITS O F THE ENTRO PY (M ETHOD )FO R REL IA B IL ITY A SSESSM ENT O F A SY STEMSh i J u n( In st itu te o f P ilo t le ss A irc raf t, N an jing U n ive r sity o f A e ro nau t ic s and A st ro nau t ic s,210016)N an jing,摘 要 将近代 Sh anno n 信息论的信息概念广义化, 利用信息量的“可加性”特性和离散变量熵的一般表达式, 并与可靠性工程理论相结合, 推导了由成败型或指数型单元所组成的串、并联系 统可靠性评定用的熵 (法) 近似下限计算公式。应用本文公式所得出的评定结果总是介于经典和 贝叶斯 (法) 近似下限之间, 既不偏于保守, 又不过分冒进, 相当令人满意。关键词 信息量 熵 成败型单元 指数型单元 可靠性评定中图分类号G201, TB 11413A bstrac t Info rm a t io n co ncep t s o f m o de rn Sh anno ns info rm a t io n th eo ry a re ex tended in th isp ap e r. B y th e u se o f“add ib le”ch a rac te r ist ic s o f info rm a t io n and gene ra l exp re ssio n o f th e en2t rop y fo r d isc re te va r iab le s in a sso c ia t io n w ith th e re liab ility eng inee r ing th eo ry, th e ca lcu la t io n fo rm u lae o f th e app ro x im a te low e r lim it s o f th e en t rop y (m e tho d) fo r re liab ility a sse ssm en t o f a se r ie s o r p a ra lle l sy stem co n sist ing o f succe ss2fa ilu re m o de l o r expo nen t ia l m o de l com po nen t s a re de r ived. T h e a sse ssm en t re su lt s o b ta ined by u se o f th e fo rm u lae in th is p ap e r a re a lw ay sw ith in th e app ro x im a te low e r lim it s o f c la ssica l and B aye sian (m e tho d s). T h ey a re ne ith e r co n2se rva t ive no r rad ica l, bu t ve ry sa t isfac to ry.succe ss2fa ilu re m o de l com po nen t s expo nen t ia l m o de lKey words info rm a t io nen t rop ycom po nen t sre liab ility a sse ssm en t本文对由成败型或指数型单元组成的系统用基于信息论来处理可靠性评定中信息的熵法, 利用组成系统的所有单元在全部实际试验中所提供的总信息量分别与将试验信息综合 为“成败型”、“指数型”信息的系统在全部折合“试验”中应提供的总信息量相等的条件, 推导 得出了系统折合的二项“试验”以及有替换定时截尾指数寿命“试验”的信息的计算公式。 根 据本文公式算出的折合数值, 由二项可靠性非随机化最优置信下限统计数表或相应的计算公式, 以及由指数分布有替换定时截尾的非随机化最优置信限的计算公式, 就可得到由成败 型或指数型单元组成的系统可靠性评定用的熵 (法) 第一、二近似下限。1995201217 收到, 1995208210 收到修改稿航空科学基金资助课题544航 空 学 报第 17 卷1公式推导111成败型单元提供的总信息量由信息论基本知识可知: 信息量是概率的单调减函数, 具有“可加性”特性; 信息源的每 个消息的平均信息量称为熵, 记为 H 。 离散变量的熵的一般表达式为KP i lnP iH = -(1)i= 1式中 P i 为第 i 个消息所示事件出现的概率; K 为消息数。假设: 系统由 l 个相互独立的成败型单元按一定的可靠性结构所组成; 第 i 个单元的实 际试验次数为 n i , 其中失败次数的观测值为 f i , 成功次数的观测值为 S i (S i = n i - f i ) ; 第 i 个单元在其每次试验中出现成功消息的概率均为 p i , 出现失败消息的概率均为 q i (q i = 1-按式 (1) , 第 i 个单元在实际试验中所提供的熵 H i 为H i = -(p i lnp i + q i lnq i )第 i 个单元在实际试验 n i 次中所提供的信息量 I i 为I i = n iH i组成系统的 l 个成败型单元在全部实际试验次数中所提供的总信息量 2 I l 则为p i )。(2)(3)ll2 I l = I i = - n i (p i ln p i + q i lnq i )(4)i= 1112指数型单元提供的总信息量i= 1假设: 系统由 m 个相互独立的指数型单元按一定的可靠性结构所组成; 第 j 个单元的实际失效次数为 z j , 任务时间为 t0 j , 总试验时间为 j , 失效率为 j。 指数分布属于连续型概率分布。 连续变量的熵的表达式不能用式 (1) , 而应由“求和”变为“积分”。 但为推导的简便起见, 从可靠性工程的实用观点出发, 可以利用连续型概率分布中只有指数分布才具有的无记忆性。 将第 j 个单元的总试验时间 j 等分为 j 个任务时间( t0 j ) 段: j = j t0 j , 称为等效任务数 。 第 j 个单元在每个等效任务数内就都具有相等的可靠 度 R j ( t0 j ) (简记为 R j ) 和不可靠度 F j ( t0 j ) (简记为 F j , F j = 1- R j )。将此“离散”后的可靠度和不可靠度作为信息论中“离散”的消息所示事件的概率, 就仍可用式 (1) 了。仍按式 (1) , 第 j 个单元在实际试验 t0 j 时间内所提供的熵 H j 为H j = -(R j lnR j + F j lnF j )第 j 个单元在总试验时间 j 内所提供的信息量 I j 为I j = jH j组成系统的 m 个指数型单元在全部实际总试验时间内所提供的总信息量 2 Im 则为(5)(6)mm2 Im = I j = - j (R j lnR j + F j lnF j )(7)j = 1j = 1113第一近似下限将组成系统的所有单元的全部试验信息综合为“成败型”的系统等量折合的二项“试验” 信息。设: 系统折合的“试验”次数为 n , 失败次数为 f , 成功次数为 S (S = n - f ) ; 系统在其每施 军: 系统可靠性评定的熵 ( 法) 近似限第 5 期545次折合“试验”中出现成功消息的概率均为 P , 出现失败消息的概率均为 Q (Q = 1-系统在折合“试验”中应提供的熵 H 1 为H 1 = -(P lnP + Q lnQ )P )。(8)系统在折合“试验”n 次中应提供的总信息量 I 1则为I()(9)1 =nH 1 = - n P lnP + Q lnQ由总信息量相等的条件, 即令式 (9) 分别与式 (4) , 式 (7) 两式相等, 可求出ln i (p i ln p i + q i lnq i )i= 1对成败型单元n =(10a)P lnP + Q lnQmj (R j lnR j + F j ln F j )j = 1对指数型单元n =(10b )P lnP + Q lnQ对指数型单元的失效率 j 取其极大似然估计 (M L E ) j : j = j = z j j = z j ( j t0 j ) ; 对成败型的单元与系统的成功概率 p i 与 P , 均取其M L E p i 与 P 。 则有R j =exp (-z j j )(11a)p i = p i =p i =S if i(11b ),q i =1 -n iSn iP = P =P =f(11c),Q = 1 -nn将以上式 (11b )、式 (11a ) 分别代入式 (10a )、式 (10b ) , 并利用式 (11c) , 就可推导得出l (S i lnS i + f i ln f i - n i lnn i )i= 1对成败型单元对指数型单元n =(12a)P lnP + (1 -P ) ln (1 - P )mz jz jz jz jj- exp-+1 - exp -ln1 - exp -jjjjj = 1n =(12b )(12c)P ln P + (1 - P ) ln (1 -P )= n (1 - P ),S = n Pf式中: P 需根据单元系统 ( 相邻两级) 间的实际可靠性结构而具体写出, 参见应用实例。 在求得 n , f 与 S 后, 利用单元可靠性评定方法中二项单元的非随机化最优置信经典下限的计算公式 ( 参见文献 1第 62 页) , 就可得出熵 (法) 第一近似下限 (记为 R L , S )I R L , S (S , fR L , S =+ 1) =(13a)1 - - 1f +1F 2 + 2, 2 ; (13b )1 +fSS式 中: I R L , S (S , f + 1) 是参数为 (S , f + 1) 的 分布的分布函数 ( 称为不完全 函数) ;R L , S 即是参数为 (S , f + 1) 的 分布的 ( 1- ) 分位数; 为预先指定的置信度; F 2f + 2, 2S ; 是自由度为 (2f + 2, 2S ) 的 F 分布的 分位数。114第二近似下限将组成系统的所有单元的全部试验信息综合为“指数型”的系统等量折合的有替换定时546航 空 学 报第 17 卷截尾指数寿命“试验”信息。设: 系统折合的“试验”失效次数为 z , 任务时间为 t0 , 总试验时间为 , 失效率为 。 从可靠性工程的实用观点出发, 仿指数型单元的处理方法, 将 等分为 个任务时间( t0 ) 段: = t0 , 可称为折合等效任务数。 系统在每个折合的等效任务数内都具有相等的可靠度 R ( t0 ) 和不可靠度 F ( t0 ) , F ( t0 ) = 1- R ( t0 )。将此“离散”后的 R ( t0 ) , F ( t0 ) 作为信息论中 “离散”的消息所示事件的概率, 式 (1) 就仍能适用。系统在折合“试验”时间 t0 内应提供的熵 H 2 为H 2 = -R ( t0 ) lnR ( t0 ) + F ( t0 ) lnF ( t0 ) (14)系统在折合的总“试验”时间 内应提供的总信息量 I 2 则为I2 =H 2 = - R ( t0 ) lnR ( t0 ) + F ( t0 ) lnF ( t0 ) (15)由总信息量相等的条件, 即令式 (15) 分别与式 (4)、式 (7) 两式相等, 可求出ln i (p i ln p i + q i lnq i )i= 1 =(16a)对成败型单元R ( t0 ) lnR ( t0 ) + F ( t0 ) lnF ( t0 )mj (R j lnR j + F j lnF j )j = 1(16b )对指数型单元 =R ( t0 ) lnR ( t0 ) + F ( t0 ) lnF ( t0 )事实上, 可 靠 度 就 是 成 功 消 息 的 概 率, 故 式 ( 16a ) , 式 ( 16b ) 中 的 R ( t0 ) , F ( t0 ) 即 为 式(10a ) , 式 (10b ) , 或式 (12a ) , 式 (12b ) 中的 P , Q 。 可知对应单元的 = n。“指数型”系统的可靠度 R ( t0 ) = exp (- t0 )。 对 取其 M L E = z , 则 R ( t0 ) = exp(- z )。 由此可推导得出 = nz = - lnR ( t0 ) = - lnP(17a)(17b )对成败型或指数型单元在求得 , z 后, 利用单元可靠性评定方法中指数单元有替换定时截尾的失效率非随机化最优置信上限计算公式 ( 参见文献 1第 76 页) , 就 可 得 出 熵 ( 法) 第 二 近 似 下 限 ( 记 为RL , S )R2L , S = exp (- 2z + 2, 2)(18)式中 6 2z + 2, 是自由度为 (2z + 2) 的 2 分布的 分位数。22应用实例211串联系统对由 l 个成败型单元组成的串联系统, 式 (12a ) , 式 (12c) , 式 (17b ) 中的 P 表达式为lllSiP = p i = p i = n(19)ii= 1i= 1i= 1对由 m 个指数型单元组成的串联系统, 式 (12b ) , 式 (12c) , 式 (17b ) 中的 P 表达式为mmmP = R ( t0 ) = exp (- j t0 j ) = exp (-j t0 j ) = exp - z j j(20)j = 1j = 1j = 1例1成败型单元组成的串联系统, l = 4, (f 1 , n 1 ) = ( 0, 45) , (f 2 , n 2 ) = ( 2, 45) , ( f 3 ,施 军: 系统可靠性评定的熵 ( 法) 近似限第 5 期547n 3 ) = (f 4 , n 4 ) = ( 1, 41) , 求 = 018, 019 时的系统可靠度近似下限 R L ( 本例 = 018 时 为文献 2中的例 1; = 019 时为文献 1中的例 1012 及例 10123)。解: 将式 (19) 代入式 ( 12a )、式 ( 12c)、式 ( 17a )、式 ( 17b ) , 并利用已知数据, 可求得 n = 571907 164 11, f = 51239 930 45, z = 51492 355 498。由式 (18) 可求出 R , S = 01863 73 (=L018) , 01842 91 ( = 019)。 利用有关的统计数表, 经线性插值可计算出 R , S 值, 如表 1 所示。L例 1R , S 的插值计算表 1L为便于与其它几种评定方法所得的结果相互比较、验证, 在本例及后面各例中, 均同时给出文献 1中经典第一、二近似下限, 贝叶斯第一、二近似下限以及文献2, 3的结果; 依次分别记为 R , C、R , C , R , B、R , B , R L , H 。 这些结果取自文献 1, 2, 3或由本文作者按这些评定L L L L方法给出的公式计算得出。 本例结果与其它几种评定方法的结果比较见表 2。表 2例 1 的各种评定结果比较LLLLLL例25, (z 1 , 1 ) = (2, 600) , (z 2 , 2 ) = (1, 500) , (1, 200)。求 = 019 时的 R L (本例为文献指数型单元组成的串联系统, m =(z 3 , 3 ) = (1, 400) , (z 4 , 4 ) = (1, 300) , (z 5 , 5 ) =1中的例 1019 及例 10128, 亦为文献 3中的例 2)。解: 将式 (20) 代入式 (12b ) , 式 (12c) , 式 (17a ) , 式 (17b ) , 并利用已知数据, 可求得 n = = 4931405 996 4, f = 71912 597 775, z = 71976 730 275。查有关的统计数表, 经线性插值251932 624 19; R , S =L 01973 98; R , S =可求得 2z + 2, 019 =L 01974 06 。2本例几种评定结果的比较见表 3。表 3 例 2 的各种评定结果比较LLLLLL212并联系统对由 l 个成败型单元组成的并联系统, 式 (12a) , 式 (12c) , 式 (17b ) 中的 P 表达式为lf i n(21)P = 1 -ii= 1对由 m 个指数型单元组成的并联系统, 式 (12b ) , 式 (12c) , 式 (17b ) 中的 P 表达式为mP = 1 - 1 - e xp (- z j j ) (22)j = 1成败型单元组成的并联系统, l = 2, (f 1 , n 1 ) = (2, 8) , (f 2 , n 2 ) = (1, 5) , 求 例3= 019 时的 R L (本例为文献 2中的例 3) 。解: 将式 (21) 代入式 (12a)、式 (12c)、式 (17a)、式 (17b ) , 并利用已知数据, 可求得 n = = 351265 268 17, f = 11763 263 41, z = 11808 871 782 。 评定结果见表 4。R LR , CR , CR L , HR , SR , SR , BR , B结 果01970 3801970 5201972 0101973 9801974 0601974 5201974 52R LR L , HR , CR , CR , SR , SR , BR , B01801901843 0101816 6301852 5701827 1801852 6101827 2401862 2301840 7901863 7301842 9101876 0201851 8301876 0201851 83f551239 930 456018019018019018019n57571907 164 115801864 8401866 899 2601867 1101843 3501845 708 6301845 9501862 2301840 7901845 0901847 448 6301847 6901822 5501825 207 9901825 48548航 空 学 报第 17 卷表 4 例 3 的几种评定结果比较LLLL例4 指数型单元组成的并联系统, m = 2, (z 1 , 1 ) = (1, 10) , (z 2 , 2 ) = (2, 15)。求 =019 时的 R L (本例为文献 1中的例 10111)。解: 将式 (22) 代