高中数学第2章空间向量与立体几何33.1空间向量的标准正交分解与坐标表示3.2空间向量基本定理学案北师大版.docx

3.1空间向量的标准正交分解与坐标表示 3.2空间向量基本定理学习目标：1.了解空间向量基本定理及其意义(重点)掌握空间向量的标准正交分解及其坐标表示，会求向量的坐标(重点)理解空间中的任何一个向量都可以用三个不共面的向量来表示，能够在具体问题中适当地选取基底(难点)1标准正交基在给定的空间直角坐标系中，x轴，y轴，z轴正方向的单位向量i，j，k叫作标准正交基2标准正交分解设i，j，k为标准正交基，对空间任意向量a，存在唯一一组三元有序实数组(x，y，z)，使得axiyjzk，则把axiyjzk叫作a的标准正交分解3向量的坐标表示在a的标准正交分解中三元有序实数组(x，y，z)叫作空间向量a的坐标，a(x，y，z)叫作向量a的坐标表示思考：平行于坐标轴或坐标平面的向量，如何用坐标表示？提示(1)当向量a平行于x轴时，纵坐标，竖坐标都为0，即a(x，0，0)(2)当向量a平行于y轴时，横坐标，竖坐标都为0，即a(0，y，0)(3)当向量a平行于z轴时，横坐标，纵坐标都为0，即a(0，0，z)(4)当向量a平行于xOy平面时，竖坐标为0，即a(x，y，0)(5)当向量a平行于yOz平面时，横坐标为0，即a(0，y，z)(6)当向量a平行于xOz平面时，纵坐标为0，即a(x，0，z)4向量坐标与投影(1)i，j，k为标准正交基，axiyjzk，那么aix，ajy，akz把x，y，z分别称为向量a在单位向量i，j，k上的投影(2)向量的坐标等于它在坐标轴正方向上的投影(3)一般地，若b0为b的单位向量，则称ab0|a|cosa，b为向量a在向量b上的投影5空间向量基本定理如果向量e1，e2，e3是空间三个不共面的向量，a是空间任一向量，那么存在唯一一组实数1，2，3使得a1e12e23e3思考：平面向量的基底要求二个基向量不共线，那么构成空间向量基底的三个向量有什么条件？提示空间任意三个不共面的向量都可以作为空间向量的一个基底，基底选定后，空间任意向量均可由基底唯一表示1.判断正误(1)只有两两垂直的三个向量才能作为空间向量的一组基底()(2)向量的坐标与点P的坐标一致()(3)对于三个不共面向量a1，a2，a3，不存在实数组1，2，3使1a12a23a30.()答案(1)(2)(3)2若向量a、b、c是空间的一个基底，向量mab，nab，那么可以与m、n构成空间的另一个基底的向量是()AaBbCc D2aC只有c与m，n不共面，故c，m，n可作一组基底3向量a(0，2，3)，则()Aa平行于x轴 Ba平行于平面yOzCa平行于平面zOx Da平行于平面xOyB因为a的横坐标为0，所以a平行于平面yOz.4若向量i，j，k为空间直角坐标系上对应x轴，y轴，z轴正方向的单位向量，且设a2ij3k，则向量a的坐标为_(2，1，3)根据空间向量坐标的定义知，a(2，1，3)空间向量的基底【例1】已知e1，e2，e3是空间的一个基底，且e12e2e3，3e1e22e3，e1e2e3，试判断，能否作为空间的一个基底解假设，共面则存在实，使得，e12e2e3(3e1e22e3)(e1e2e3)(3)e1()e2(2)e3，e1，e2，e3不共面，此方程组无解，不共面，可以作为空间的一个基底空间向量有无数个基底判断给出的某一向量组中的三个向量能否作为基底，关键是要判断它们是否共面，如果从正面难以入手，常用反证法或是一些常见的几何图形帮助我们进行判断1设xab，ybc，zca，且a，b，c是空间的一个基底给出下列向量组：a，b，x；x，y，z；b，c，z；x，y，abc其中可以作为空间的基底的向量组有_个3如图所设a，b，c，则x，y，z，abc.由A，B1，D，C四点不共面可知向量x，y，z也不共面同理可知b，c，z和x，y，abc也不共面，可以作为空间的基底因xab，故a，b，x共面，故不能作为基底用基底表示向量【例2】如图所示，在平行六面体ABCDABCD中，a，b，c，P是CA的中点，M是CD的中点，N是CD的中点，点Q在CA上，且CQQA41，用基底a，b，c表示以下向量. (1)；(2)；(3)；(4).解连接AC，AD.(1)()()(abc)(2)()(a2bc)abc.(3)()()()abc.(4)()()abc.用基底表示向量的步骤(1)定基底：根据已知条件，确定三个不共面的向量构成空间的一个基底(2)找目标：用确定的基底(或已知基底)表示目标向量，需要根据三角形法则及平行四边形法则，结合相等向量的代换、向量的运算进行变形、化简，最后求出结果(3)下结论：利用空间向量的一个基底a，b，c可以表示出空间所有向量表示要彻底，结果中只能含有a，b，c，不能含有其他形式的向量2如图所示，在空间四边形OABC中，G、H分别是ABC、OBC的重心，设a，b，c.试用向量a，b，c表示向量.解H为OBC的重心，D为BC的中点，()，()(bc)又，()()(abc)，(bc)(abc)a.空间向量的坐标表示探究问题1在不同的基底下，空间任一向量对应的坐标是否相同？提示不相同选取不同的基底所表示的向量对应实数组不同2在空间几何图形中建立空间直角坐标系的关键是什么？提示关键是利用几何图形特征，尽量寻找三条两两垂直且交于一点的直线，若找不到则应想法构建【例3】(1)已知点A在基底a，b，c下的坐标为(8，6，4)，其中aij，bjk，cki，则点A在基底i，j，k下的坐标是()A(12，14，10)B(10，12，14)C(14，12，10) D(4，3，2)(2)在棱长为1的正方体ABCDABCD中，E、F、G分别为棱DD、DC、BC的中点，以，为基底，求向量，的坐标. A(1)8a6b4c8(ij)6(jk)4(ki)12i14j10k.点A在基底i，j，k下的坐标为(12，14，10)(2)，.1.(变结论)本例(2)题设条件不变，求向量，的坐标解()()，()()，.2.(变条件)本例(2)题设条件“以，为基底”变为“若以，为基底”，试写出，的坐标. 解，()，.用坐标表示空间向量的步骤1已知点O，A，B，C为空间不共面的四点，且向量a，向量b，则与a，b不能构成空间基底的向量是()A.B.C. D.或Cab且a，b不共线，a，b，共面，与a，b不能构成一组空间基底2已知正方体OABCOABC的棱长为1，若以，为基底，则向量的坐标是()A(1，1，1) B(1，0，1)C(1，1，1) D(1，0，1)A由于，所以(1，1，1)3在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，2.设a，b，c _(用a，b，c表示)abc如图所示，连接AN，则()()()c(bc)(ab)abc.4设e1，e2，e3是空间向量的一个单位正交基底，a4e18e23e3，b2e13e27e3，则a，b的坐标分别为_a(4，8，3)，b(2，3，7)由于e1，e2，e3是空间向量的一个单位正交基底，所以a(4，8，