八年级数学下册19.1.1变量与函数

19 1变量与函数 创设问题情境1 票房收入问题 每张电影票的售价为10元 1 若一场售出150张电影票 则该场的票房收入是元 2 若一场售出205张电影票 则该场的票房收入是元 3 若设一场售出x张电影票 票房收入为y元 则y 小结 票房收入随售出的电影票数变化而变化 即y随的变化而变化 1500 2050 10 x x 创设问题情境2 行程问题 汽车以60千米 小时的速度匀速行驶 行驶里程为s千米 行驶时间为t小时 请根据题意填表 小结 行驶路程随的变化而变化 有关系式s 即s随的变化而变化 60 120 180 600 时间 60t t 3 温度变化问题 如图一 是北京春季某一天的气温 随时间t变化的图象 看图回答 1 这天的8时的气温是 14时的气温是 22时的气温是 2 这一天中 最高气温是 最低气温是 小结 天气温度随的变化而变化 即T随的变化而变化 4 8 6 10 2 时间 t 在上面的问题反映了不同事物的变化过程 其中有些量 例如售出票数x 票房收入y 时间t 路程s 的值按照某种规律变化 有些量的值始终不变 例如电影票的单价10元 二 问题引申 常量 变量 在一个变化过程中 发生变化的量叫做 不变的量叫做 指出前面三个问题中的常量 变量 1 票房收入问题 中y 10 x 常量是 变量是 2 行程问题 中s 60t 常量是 变量是 3 气温变化问题 变量是 变量 常量 10 x和y 60 t和s t和T 练习一 1 某位教师为学生购买数学辅导书 书的单价是4元 则总金额y 元 与学生数n 个 的关系是 其中的变量是 常量是 2 计划购买50元的乒乓球 所能购买的总数n 个 与单价a 元 的关系式为 其中的变量是 常量是 3 圆的周长公式 这里的变量是 常量是 4 下列表格式是王辉从4岁到10岁的体重情况这个问题中的变量是 y 4n n和y 4 n 50 a a和n 50 r和C 年龄和体重 学习变量后 我们会发现变量的变化并不是孤立地发生 而是存在一些互相联系 当其中一个变量取定一个值时 另一个变量就随之确定一个值 一般地 在一个变化过程中 如果有两个变量x和y 并且对于x的每一个确定的值 y都有唯一确定的值与其对应 那么我们就说x是自变量 y是x的函数 如果当x a时 y b 那么b叫做当自变量的值为a时的函数值 自变量 函数 函数值 指出前面四个问题中的自变量与函数 1 票房收入问题 中y 10 x 对于x的每一个值 y都有的值与之对应 所以是自变量 y是x的函数 2 行程问题 中s 60t 对于t的每一个值 s都有的值与之对应 所以是自变量 是的函数 3 气温变化问题 对于时间t的每一个值 气温T都有的值与之对应 所以是自变量 是的函数 归纳 如果有两个变量和 对于x的每一个值 y都有的值与之对应 称x是 y是x的 唯一 x 唯一 t s t t T t 唯一 自变量 函数 唯一 例 一个三角形的底边为5 高h可以任意伸缩 三角形的面积也随之发生了变化 解 1 面积s随高h变化的关系s 其中常量是 变量是 是自变量 是的函数 2 当h 3时 面积s 3 当h 10时 面积s h和s h s h 7 5 25 练习二购买一些签字笔 单价3元 总价为y元 签字笔为x支 根据题意填表 1 y随x变化的关系式y 是自变量 是的函数 2 当购买8支签字笔时 总价为元 2 一个梯形的上底是4 下底是9 写出面积S随高h变化的函数关系式 常量是 变量是 自变量是 是的函数 3 6 9 3x x y x 24 h和s h s h 3 请同学们找出这些函数的常量 变量 自变量和函数 1 y 3000 300 x 2 S 570 95t 3 y x 4 解 1 常量是3000 300 变量是x y 自变量是x y是x的函数 2 常量是570 95 变量是t s 自变量是t s是t的函数 3 常量是1 变量是x y 自变量是x y是x的函数 4 常量是 变量是r s 自变量是r s是r的函数 4 如图是体检时的心电图 其中图上的横坐标x表示时间 纵坐标y表示心脏部位的生物电流 这个问题的变量是 是的函数 x和y y x 思考题 填表并回答问题 1 对于x的每一个值 y都有唯一的值与之对应吗 答 2 y是x的函数吗 为什么 2和 2 8和 8 18和 18 32和 32 不是 答 不是 因为y的值不是唯一的 三 函数的不同表示法 回顾 票房收入问题 行程问题 气温变化问题 表示两个变量的对应关系有哪些方法 1 2 3 表示一个函数有很多方法 我们常用以下几种方法来表示一个函数 1 图象法 用图象来表示两个变量之间的关系 2 列表法 用表格的方法来表示两个变量之间的关系 3 解析法 用代数表达式来表示两个变量之间的关系等 其中用解析法表示关系时 还要注意自变量的取值范围 解析法 列表法 图象法 s 60t S 图象法 2 函数的关系式是等式 那么函数解析式的书写有没有要求呢 通常等式的右边是含有自变量的代数式 左边的一个字母表示函数 如何书写函数关系式呢 例 根据所给的条件 写出y与x的函数关系式 2 y是x的倒数的4倍 3 矩形的周长是18cm 它的长是ycm 宽是xcm 4 等腰三角形的顶角度数y与底角x的关系 y 180 2x 教你一招 1 先认真审题 根据题意找出相等关系 2 按相等关系 写出含有两个变量的等式 3 将等式变形为用含有自变量的代数式表示函数的式子 当x 10时y 当x 12时y 当x 11时 y 某汽车的油箱内装有30公升的油 行驶时每百千米耗油2 5公升 设行驶的里程为x 百千米 求油箱中所剩下的油y 公升 与x之间的函数关系式 解决问题 y 30 2 5 10 5 y 30 2 5 11 2 5 y 30 2 5 12 0 函数关系式为 y 30 2 5x 当汽车行驶600千米时 油箱里还有多少汽油 一辆汽车的油箱中现有汽油50L 如果不再加油 那么油箱中的油量y 单位 L 随行驶里程x 单位 km 的增加而减少 平均耗油量为0 1L km 1 写出表示y与x的函数关系的式子 2 指出自变量x的取值范围 3 汽车行驶200km时 油箱中还有多少油 解 1 函数关系式为 y 50 0 1x 2 由x 0及50 0 1x 0得0 x 500 自变量的取值范围是 0 x 500 3 当x 200时 函数y的值为 y 50 0 1 200 30 因此 当汽车行驶200km时 油箱中还有油30L 例求出下列函数中自变量的取值范围 1 y 2x 2 3 4 解 自变量x的取值范围 x为任何实数 解 由n 1 0得n 1 自变量n的取值范围 n 1 解 由x 2 0得x 2 自变量n的取值范围 x 2 解 自变量的取值范围是 k 1且k 1 课堂检测 1 在y 3x 1中 如果x是自变量 是x的函数 2 下列说法中 不正确的是 A 函数不是数 而是一种关系B 多边形的内角和是边数的函数C 一天中时间是温度的函数D 一天中温度是时间的函数 3 正方形的边长为5cm 当边长减少xcm时 周长为ycm 求y与x的函数关系式 y C y 4 5 x 即 y