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高中数学讲义之集合专题 集合一、学习要求1、理解集合，子集，并集，交集，补集的概念；了解属于、包含、相等关系的意义；2、掌握集合相关的术语和符号，并会运用它们正确表示一些简单的集合；3、掌握集合的并、交、补运算.知识网络结构图：概念 绝对值不等式的解法 集合 集合的应用 运算 一元二次不等式或绝对值不等式的解法 二、知识要点1. 集合元素的三个属性：确定性：每一个对象都能被确定是不是某一集合的元素，没有确定性就不能成为集合。例如，“个子高的同学”；“很小的数”都不能构成集合。集合的确定性主要用于判定一个总体是否能够形成集合。互异性：集合中的任意两个元素都是不同的对象。例如，写成1,1,2等同于1,2。集合的互异性使得集合中的元素没有重复。当两个相同的对象在同一集合中出现时，它们只能算作是这个集合中的一个元素。无序性：集合中的元素可以任意排列，没有严格的次序要求。例如，集合a,b,c与集合c,b,a表示同一集合。2. 常见的几种集合：有限集：含有有限个元素的集合；无限集：含有无限个元素的集合；单点集：仅含有一个元素的集合；空集：不含有任何元素的集合。注：单点集又称单元素集，其元素个数为1；空集又称虚无集，其元素个数为0.单点集和空集都是有限集。3. 集合的表示方法：（1）列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合的方法。列举法的表述形式有以下三种： 集合是有限集且元素个数较少。例如，由0,2,3,5组成的集合可表示为0,2,3,5 集合是有限集但元素个数较多。例如，由从50到100的所有整数组成的集合可表示为50,51,52,，98,99,100 集合是无限集而元素离散。例如，由所有的正偶数组成的集合可表示为2,4,6,8，（2）描述法：把集合中元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法 。描述法的表述形式有以下两种： 数式形式：例如，由不等式的所有解组成的集合可表示为；由直线上所有点的坐标组成的集合可表示为。 语言形式：例如，由所有直角三角形组成的集合可表示为直角三角形；由所有小于6的正整数组成的集合可表示为小于6的正整数。4. 元素与集合之间的关系：元素与集合之间的关系有“属于”和“不属于”两种。设A是一个集合，a是一个元素,若a是A的元素，则称a属于A，记作;若a不是A的元素，则称a不属于A，记作。注：对于任意给定的集合A及任意给定的元素a来说，a是否是A的元素必定是完全确定的。也就是说，与这两者之中必定有且只有一个是成立的。5. 集合与集合之间的关系：集合与集合之间的关系有“包含”，“不包含”及“相等”三种。（1）子集的定义：设A,B是两个集合，若集合A中的每一个元素都是集合B中的元素，则称集合A包含于集合B，或称集合B包含集合A，记作()，此时我们也称集合A是集合B的子集。也就是说，对于任意两个集合A,B，若，则称集合A是集合B的子集。若集合A不包含于集合B，则记作，此时集合A显然不会是集合B的子集。（2）集合相等的定义：设A,B是两个集合，若，同时，则称集合A与集合B相等，记作A = B。注：这一简单的事实在今后判定两个集合相等时会经常遇到。（3）真子集的定义：设A,B是两个集合，若且，则称集合A是集合B的真子集。规定：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。6. 集合的基本运算：集合有三种基本运算：并、交，补。（1）并集的定义：设A,B是两个集合，我们把A中一切元素与B中一切元素所组成的集合称为A与B的并集或并，记作，即（2）交集的定义：设A,B是两个集合，我们把A与B中公共的元素所组成的集合称为A与B的交集或交，记作，即（3）补集的定义：设S是一个集合，A是S的一个子集（即），则称所有属于S但不属于A的元素组成的集合为S中集合A的补集（或余集），记作，即关于集合的并、交、补这三种运算，我们有以下基本规律：定理：设A，B是两个集合，则以下三个条件等价：;.注：定理1即是说：对于任意两个集合A，B， ； ; .7. 全集的定义：若集合S含有我们所要研究的各个集合的全部元素，则我们可把这个集合看作一个全集，记作U.8. 集合的性质：任何一个集合是它本身的子集，即；空集是任何集合的子集，即；空集是任何非空集合的真子集；空集的补集是全集；若集合A=集合B，则CBA = ， CAB = ；若，则.9. 集合元素的个数：设集合A含有个元素，则 A的子集有2n个. A的真子集有2n 1个. A的非空真子集有2n2个.10. De Morgan（德摩根）公式： 三、例题精讲例1、下列各组对象中不能形成集合的是（）A. 正三角形的全体 B. 大于2的所有整数C所有的无理数 D. 高一数学书中的所有难题例2、用适当的方法表示下列集合，并指出它们是有限集还是无限集.（1）方程的实数解组成的集合（2）方程与的公共解组成的集合（3）与的正公倍数组成的集合（4）平面上到两定点A,B的距离相等的点的集合例3、设，。则下列关系正确的是（）A. B. C. D. 例4、写出集合的所有子集.例5、已知，。求满足条件的集合.四、课堂练习1、设A=三角形，B=等腰三角形，C=等边三角形，D=直角三角形.则下列关系正确的是（ ）A B. C. D. 2、设A=1,3,，B=，1，且. 则这样不同的有（ ）个A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3、设M=1,-3,0，N=，若，则=_.4、设，. 则_.5、设，.则_，_.6、设，则当时，的值是（ ）A. 2 B. 2或3 C. 1或3 D. 1或2 7、若集合，集合，且，则实数的取值范围是_.课后作业1、集合中包含的的子集共有（ ）A. 2个 B. 3个 C. 5个 D. 8个2、设全集，集合，则（ ）A. B. C. D. 3、设，集合，则（ ） A. B. C. D. 4、已知