八年级数学下册18.2.3　正方形

18 2 3正方形 1 正方形的定义有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形是正方形 2 正方形的性质 1 边 相等 对边平行 2 角 四个角都是 3 对角线 相等 互相垂直 每条对角线平分一组对角 3 正方形的判定 1 有一个角是直角的是正方形 2 有一组邻边相等的是正方形 3 对角线相等的菱形是正方形 对角线互相的矩形是正方形 对角线互相且相等的四边形是正方形 4 有一组邻边 有一个角是的是正方形 四条边 直角 平分 菱形 矩形 垂直 垂直平分 相等 直角 平行四边形 预习诊断 对的打 错的打 1 有一组邻边相等 有一个角是直角的四边形是正方形 2 正方形的对角线相等且互相垂直平分 3 对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形 探究点一 正方形的性质 例1 如图 在正方形ABCD中 对角线AC BD相交于点O E F分别在OD OC上 且DE CF 连接DF AE 求证 AE DF 导学探究 由正方形的性质 得OA 则OE 从而可证 AOE 即可得AE DF OD 证明 因为四边形ABCD是正方形 所以OA OC OD AC BD 又因为DE CF 所以OD DE OC CF 即OF OE 在 AOE和 DOF中 所以 AOE DOF SAS 所以AE DF OF DOF 1 正方形具有平行四边形 矩形 菱形的所有性质 2 正方形被对角线分成四个全等的等腰直角三角形 3 正方形对角线长为边长的倍 探究点二 正方形的判定 例2 如图 已知平行四边形ABCD中 对角线AC BD交于点O E是DB延长线上一点 且 ACE是等边三角形 若 AEB 2 EAB 求证 四边形ABCD是正方形 导学探究 1 先证四边形ABCD是形 再证明有一个角是 2 由等边 ACE可得 AEB 度 则 EAB 度 从而可得 BAD 2 BAO 度 菱 直角 证明 因为四边形ABCD是平行四边形 所以AO CO 因为 ACE是等边三角形 所以AE CE 所以OE AC 所以四边形ABCD是菱形 因为 ACE是等边三角形 所以 EAO 60 所以 AEB 30 因为 AEB 2 EAB 所以 EAB 15 所以 BAO EAO EAB 60 15 45 又因为四边形ABCD是菱形 所以 BAD 2 BAO 90 所以四边形ABCD是正方形 30 15 90 判定一个四边形为正方形的方法主要有 1 先证它是矩形 再证有一组邻边相等或对角线垂直 2 先证它是菱形 再证有一个角是直角或对角线相等 1 2016河北 关于 ABCD的叙述 正确的是 A 若AB BC 则 ABCD是菱形 B 若AC BD 则 ABCD是正方形 C 若AC BD 则 ABCD是矩形 D 若AB AD 则 ABCD是正方形2 如图所示 正方形ABCD中 对角线AC BD相交于点O 则图中共有等腰直角三角形 A 4个 B 6个 C 8个 D 10个 C C 3 正方形的一条对角线长为4 则这个正方形的面积是 8 4 2016东莞市期末 如图 已知点P是正方形ABCD的对角线BD上的一点 且BP BC 则 PCA的度数是 22 5 5 2016龙口市期中 如图所示 在Rt ABC中 C 90 BAC ABC的平分线相交于点D 且DE BC于点E DF AC于点F 求证 四边形CEDF是正方形 证明 如图 过D作DG AB 交AB于点G 因为 C DEC DFC 90 所以四边形CEDF为矩形 因为AD平分 CAB DF A