二次函数图像性质讲解和试题.doc

. . . . .专题讲解二次函数的图象知识点回顾： 1. 二次函数解析式的几种形式： 一般式：（a、b、c为常数，a0） 顶点式：（a、h、k为常数，a0），其中（h，k）为顶点坐标。 交点式：，其中是抛物线与x轴交点的横坐标，即一元二次方程的两个根，且a0，（也叫两根式）。 2. 二次函数的图象 二次函数的图象是对称轴平行于（包括重合）y轴的抛物线，几个不同的二次函数，如果a相同，那么抛物线的开口方向，开口大小（即形状）完全相同，只是位置不同。 任意抛物线可以由抛物线经过适当的平移得到，移动规律可简记为：左加右减，上加下减，具体平移方法如下表所示。 在画的图象时，可以先配方成的形式，然后将的图象上（下）左（右）平移得到所求图象，即平移法；也可用描点法：也是将配成的形式，这样可以确定开口方向，对称轴及顶点坐标。然后取图象与y轴的交点（0，c），及此点关于对称轴对称的点（2h，c）；如果图象与x轴有两个交点，就直接取这两个点（x1，0），（x2，0）就行了；如果图象与x轴只有一个交点或无交点，那应该在对称轴两侧取对称点，（这两点不是与y轴交点及其对称点），一般画图象找5个点。 3. 二次函数的性质函数二次函数a、b、c为常数，a0（a、h、k为常数，a0）a0a0a0a0图象(1)抛物线开口向上，并向上无限延伸(1)抛物线开口向下，并向下无限延伸(1)抛物线开口向上，并向上无限延伸(1)抛物线开口向下，并向下无限延伸性(2)对称轴是x，顶点是（）(2)对称轴是x，顶点是（）(2)对称轴是xh，顶点是（h，k）(2)对称轴是xh，顶点是（h，k）质(3)当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大(3)当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小(3)当时，y随x的增大而减小；当xh时，y随x的增大而增大。(3)当xh时，y随x的增大而增大；当xh时，y随x的增大而减小(4)抛物线有最低点，当时，y有最小值，(4)抛物线有最高点，当时，y有最大值，(4)抛物线有最低点，当xh时，y有最小值(4)抛物线有最高点，当xh时，y有最大值 4. 求抛物线的顶点、对称轴和最值的方法 配方法：将解析式化为的形式，顶点坐标为（h，k），对称轴为直线，若a0，y有最小值，当xh时，；若a0，y有最大值，当xh时，。 公式法：直接利用顶点坐标公式（），求其顶点；对称轴是直线，若若，y有最大值，当 5. 抛物线与x轴交点情况： 对于抛物线 当时，抛物线与x轴有两个交点，反之也成立。 当时，抛物线与x轴有一个交点，反之也成立，此交点即为顶点。 当时，抛物线与x轴无交点，反之也成立。典型例题 例1. （1）抛物线是由抛物线怎样平移得到的？（2）若抛物线向左平移2个单位，再向下平移4个单位，求所得抛物线的解析式。 分析：由抛物线平移时，形状和开口方向不变。（1）抛物线的顶点是（0，0），抛物线的顶点是（1，3），抛物线是由向右平移一个单位，再向上平移3个单位得到的。（2）抛物线的顶点是（0，0），把它向左平移2个单位，再向下平移4个单位后，顶点是（2，4），平移后的抛物线解析式为。 例2. 二次函数的图象如图所示，对称轴为x1，则下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 分析：由图可知： A、C项错，又知 ，B项错 由 ，故选D 例3. 已知抛物线如图所示，直线是其对称轴 （1）确定a，b，c，的符号； （2）求证： （3）当x取何值时，当x取何值时，。 分析：（1）由抛物线的开口向下，得 由抛物线与y轴的交点在x轴上方，得 由 由抛物线与x轴有两个不同的交点 （2）由抛物线的顶点在x轴上方，对称轴为 当 （3）由图象可知，当时， 由 例4. 已知二次函数，其中m为常数，且满足，试判断此抛物线的开口方向，与x轴有无交点，与y轴的交点在x轴上方还是在x轴下方。 分析： ，抛物线开口向下 又，抛物线与y轴的交点在x轴上方 抛物线与x轴有两个不同的交点 例5. 求抛物线的顶点坐标写出对称轴与坐标轴交点坐标，当x取何值时，y随x的增大而增大，当x取何值时，y随x的增大而减小？ 解： 抛物线的顶点坐标是（1，2），对称轴是直线x1 令抛物线与y轴交点（0，） 令的解为 抛物线与x轴交于点（3，0），（1，0） 当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小。 例6. 下列各图是在同一直角坐标系内，二次函数与一次函数的大致图象，有且只有一个是正确的，正确是（ ） 分析：由常数项均为c，所以两个图象与y轴交点应是一个点（0，c）， A、B不对 当 抛物线与x轴的交点为（1，0），（，0） 当时， 直线与x轴的交点为（，0） 抛物线与直线另一交点在x轴上，应选C。 例7. 有一座抛物线形拱桥，正常水位时桥下水面宽度为20m，拱顶距离水面4m。 （1）在如图所示的直角坐标系中，求出该抛物线的解析式。 （2）在正常水位的基础上，当水位上升h(m)时，桥下水面的宽度为d(m)，试求出用d表示h的函数关系式； （3）设正常水位时桥下的水深为2m，为保证过往船只顺利航行，桥下水面的宽度不得小于18m，求水深超过多少米时就会影响过往船只在桥下顺利航行？ 分析：（1）拱桥是一个轴对称图形，对称轴为图中y轴，因此可知抛物线上一些特殊点坐标，用待定系数法可求解析式。 （2）当水位上升时，抛物线与水面交点在变化，设为（）代入抛物线解析式可得d与h关系式； （3）根据逆向思维可求水面宽度为18m，即d18时，水位上升多少米？ 解：（1）设抛物线的解析式为yax2，且过点（10，4） 故 （2）设水位上升h m时，水面与抛物线交于点（） 则 （3）当d18时， 当水深超过2.76m时会影响过往船只在桥下顺利航行。 例8. 如图，半圆的直径AC2，点B在半圆上，CB不与C、A重合，F在AC上，且AEBC，EFAC于F，设BCx，EFy，求y与x的函数关系式和自变量的取值范围，并在直角坐标系中画出它的图象。 分析：求几何图形中的函数关系式，通常就是寻求自变量与函数之间的一个等量关系式，可用几何的方法证AEFACB得到比例式求出y与x的函数关系式。 解：AC是直径，B90 又EFAC，BAFE，AA AEFACB 当B为的中点时，E与B重合，此时， 自变量x的取值范围是， 它的图象如图所示 例9. 某化工材料经销公司购进了一种化工原料共7000千克，购进价格为每千克30元，物价部门规定其销售单位不得高于每千克70元，也不得低于30元，市场调查发现：单价定为70元时，日均销售60千克；单价每降低1元，日均多售出2千克，在销售过程中，每天还要支出其它费用500元（天数不足一天时，按整天计算），设销售单价为x元，日均获利为y元。 （1）求y与x的二次函数关系式，并注明x的取值范围。 （2）将（1）中所求出的二次函数配方成的形式，写出顶点坐标，在如图所示的坐标系中画出草图，观察图象，指出单价定为多少元时日均获利最多，是多少？ （3）若将这种化工原料全部售出，比较日均获利最多和销售单价最高这两种销售方式，哪一种获总利较多，多多少？ 分析：首先明确获利的含义，即每千克获利销售单价购进单价，其次注意自变量的取值范围由此在画图象时只能是原函数图象的一部分。在（3）中必须分别计算这两种销售方式的总获利，通过比较大小作答： 解：（1）若销售单价为x元，则每千克降低了（70x）元，日均多售出2（70x）千克，日均销售量为602（70x）千克，每千克获利（x30）元。 依题意得： （2）由（1）有 顶点坐标为（65，1950），其图象如图所示， 经观察可知，当单价为65元时，日均获利最多是1950元。 （3）当日均获利最多时：单价为65元，日均销售量为 那么获总利为元，当销售单价最高时：单价为70元，日均销售60kg，将这批化工原料全部售完需天，那么获总利为元，而时且元。 销售单价最高时获总利最多，且多获利26500元。巩固试题 1. 抛物线的开口方向，顶点坐标、对称轴各是什么，最值为多少？指出x值取何值时，函数y随x的增大而减小？ 2. 把抛物线的图象向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得图象的解析式是，则b_，c_。 3. 已知函数 （1）写出函数图象的开口方向、对称轴、顶点坐标。 （2）求出图象与x轴的交点坐标； （3）当x取何值时，y随x的增大而增大；x取何值时，y随x的增大而减小； （4）当x取何值时，函数有最大值或最小值？并求出最大（小）值； （5）函数图象可由的图象经过怎样的平移得到？ 4. 二次函数的图象如图所示，下列结论：；。其中正确结论的个数是（ ） A. 4B. 3C. 2D. 5 5. 下列命题中，错误的是（ ） A. 抛物线不与x轴相交 B. 函数的图象关于直线对称 C. 抛物线形状相同，位置不同 D. 抛物线经过原点 6. 已知函数的图象经过第一、二、三象限，那么的图象大致为（ ） 7. 某商场以每台2500元进口一批彩电，如每台售价定为2700元，可卖出400台，以每100元为一个价格单位，若将每台提高一个单位价格，则至少卖出50台，那么每台定价为多少元即可获得最大利润？最大利润是多少元？ 8. 某一隧道内设双行线公路，其截面由一长方形和一抛物线构成，如图所示，为保证安全，要求行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有0.5m，若行车道总宽度AB为6m，请计算车辆经过隧道时的限制高度是多少米？（精确到0.1m）。参考答案 1. 开口向上，顶点坐标（3，7），对称轴x3，有最小值y7，当x3时，y随x的增大而减小。 2. b3，c7 3. （1）开口向上，对称轴是直线x3，顶点坐标是（3，16） （2）与x轴交于（1，0），（5，0） （3）当x3时，y随x的增大而增大；当x3时，y随x的增大而减小。 （4）当x3时，y有最小值， （5）函数图象可由的图象先向右平移3个单位，再向下平移16个单位得到的 4. D5. B6. A 7. 设提高x个单位价格时，总获利为y元，则 整理，得 当x3时，即定价为3000元时，可获最大利润125000元。 8. 以矩形的下底所在直线