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第四章 三角函数 三角恒等变换及解三角形 第26讲 三角函数的图像与性质 一 三角函数的奇偶性 解析 1 函数f x 的定义域为R 而f x cos 2 x x3sinx cosx x3sinx 所以f x cos x x 3sin x cosx x3sinx f x 所以f x 为偶函数 点评 判断函数的奇偶性 首先应判断其定义域是否关于原点对称 然后再验证是否有f x f x 或f x f x 成立 三角函数的周期性 点评 三角函数周期的变换仅与自变量x的系数有关 三角函数的单调性 点评 1 求形如y Asin x 或y Acos x 其中A 0 0 的函数的单调区间 可以通过解不等式的方法去解答 列不等式的原则是 把 x 0 视为一个整体 A 0 A 0 时 所列不等式的方向与y sinx x R y cosx x R 的单调区间对应的不等式方向相同 相反 2 对于y Atan x A 0 0 单调区间利用 2 k x 2 k k Z 解出x的取值范围 即为其单调区间 3 一般地 若 0 先用诱导公式化x的系数为正 再利用上述方法求单调区间即可 三角函数的值域或最值 点评 求三角函数的值域或最值 除了利用sinx cosx的有界性求解外 还可转化为求关于sinx 或cosx 的二次函数的值域或最值 利用配方 换元等方法求解 还有的利用求导方法求解 应注意 求函数的值域或最值时 必须先明确函数的定义域 变式练习4 求函数y 2 2acosx sin2x的最大值与最小值 解析 y cos2x 2acosx 1 cosx a 2 1 a2 1 当a 1时 ymax f 1 1 a 2 1 a2 2 2a ymin f 1 1 a 2 1 a2 2 2a 2 当0 a 1时 ymax f 1 2 2a ymin f a 1 a2 3 当 1 a 0时 ymax f 1 2 2a ymin 1 a2 4 当a 1时 ymax f 1 2 2a ymin f 1 2 2a x k k Z 1 三角函数的定义域是研究其他一切性质的前提 求三角函数的定义域事实上就是解简单的三角不等式 组 通常可用三角函数的图象或三角函数线来求解 注意数形结合思想的应用 2 求三角函数的值域的常见方法请参考例4 1 2010 南通一模卷 函数f x cosx sinx cosx x R 的最小正周期是 答案 选题感悟 周期性是三角函数的重要性质 是高考常考的知识点 本题求解的关键在于将f x 化成一个角的三角函数的形式 再求周期 选题感悟 定义域 值域是三角函
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