2019_2020学年高中数学第三章数系的扩充和复数的引入3.1数系的扩充与复数的概念3.1.2复数的几何意义讲义新人教A版选修2.doc

31.2复数的几何意义1复平面的相关概念如图，点Z的横坐标是a，纵坐标是b，复数zabi可用点Z(a，b)表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴复数集C和复平面内所有的点所成的集合是一一对应的，即复数zabi复平面内的点Z(a，b)2复数的向量表示如图，在复平面内的点Z表示复数zabi，连接OZ，显然向量是由点Z唯一确定的；反过来，点Z(相应与原点来说)也可以由向量唯一确定复数集C与复平面内的向量所成的集合也是一一对应的(实数0与零向量对应)，即复数zabi平面向量.这是复数的另一种几何意义，并且规定相等的向量表示同一个复数3向量的模的定义公式向量的模r叫做复数zabi的模，记作|z|或|abi|.如果b0，那么zabi是一个实数a，它的模等于|a|(就是a的绝对值)由模的定义可知：|z|abi| r(r0，rR)复数的向量表示(1)任何一个复数zabi与复平面内一点Z(a，b)对应，而任一点Z(a，b)又可以与以原点为起点，点Z(a，b)为终点的向量对应，这些对应都是一一对应，即(2)这种对应关系架起了联系复数与解析几何的桥梁，使得复数问题可以用几何方法解决，而几何问题也可以用复数方法解决(即数形结合法)，增加了解决复数问题的途径讨论复数的运算性质和应用时，可以在复平面内，用向量方法进行1判一判(正确的打“”，错误的打“”)(1)在复平面内，对应于实数的点都在实轴上()(2)在复平面内，虚轴上的点所对应的复数都是纯虚数()(3)复数的模一定是正实数()答案(1)(2)(3)2做一做(1)若(0，3)，则对应的复数为_(2)复数z14i位于复平面上的第_象限(3)复数i的模是_答案(1)3i(2)四(3)探究复平面内复数与点的对应例1在复平面内，若复数z(m2m2)(m23m2)i对应点(1)在虚轴上；(2)在第二象限；(3)在直线yx上，分别求实数m的取值范围解复数z(m2m2)(m23m2)i的实部为m2m2，虚部为m23m2.(1)由题意得m2m20，解得m2或m1.(2)由题意得1m0，得m5，所以当m5时，复数z对应的点在x轴上方(2)由(m25m6)(m22m15)40，得m1或m，所以当m1或m时，复数z对应的点在直线xy40上探究复平面内复数与向量的对应例2已知平行四边形OABC的三个顶点O，A，C对应的复数分别为0,32i，24i，试求：(1)表示的复数；(2)表示的复数；(3)点B对应的复数解(1)0(32i)32i，表示的复数为32i.(2)(32i)(24i)52i.表示的复数为52i.(3)，表示的复数为(32i)(24i)16i，即点B对应的复数为16i.拓展提升复数与平面向量一一对应是复数的另一个几何意义，利用这个几何意义，复数问题可以转化为平面向量来解决，平面向量问题也可以用复数方法来求解【跟踪训练2】(1)复数43i与25i分别表示向量与，则向量表示的复数是_；(2)在复平面内，O为原点，向量对应复数为12i，点A关于直线yx对称点为B，则向量对应复数为_答案(1)68i(2)2i解析(1)因为复数43i与25i分别表示向量与，所以(4,3)，(2，5)，又(2，5)(4,3)(6，8)，所以向量表示的复数是68i.(2)点A(1,2)关于直线yx对称点为B是(2,1)，所以2i.探究复数模的综合应用例3(1)复数zx1(y2)i(x，yR)，且|z|3，则点Z(x，y)的轨迹方程是_；(2)设zC，则满足条件|z|34i|的复数z在复平面上对应的点Z的集合是什么图形？解析(1)|z|3，即(x1)2(y2)29.(2)解法一：由|z|34i|得|z|5.这表明向量的长度等于5，即点Z到原点的距离等于5.因此满足条件的点Z的集合是以原点O为圆心，以5为半径的圆解法二：设zxyi(x，yR)，则|z|2x2y2.|34i|5，由|z|34i|得x2y225，点Z的集合是以原点为圆心，以5为半径的圆答案(1)(x1)2(y2)29(2)见解析拓展提升根据复数的几何意义及复数模的定义可知，复数zabi(a，bR)的模的几何意义就是复平面内点(a，b)到原点的距离解决复数模的几何意义问题，需把握两个关键点：一是|z|表示点Z到原点的距离，可依据|z|满足的条件判断点Z的集合表示的图形；二是利用复数模的定义，把模的问题转化为几何问题来解决【跟踪训练3】(1)已知复数z3ai，且|z|5，则实数a的取值范围_；(2)设zC，且满足下列条件，在复平面内，复数z对应的点Z的集合是什么图形？1|z|2；|zi|1.答案(1)4a4(2)见解析解析(1)|z|5，解得4a4.(2)设zxyi(x，yR)，则|z|.由题意12，即1x2y24.复数z对应的点Z的集合是以原点O为圆心，以1和2为半径的两圆所夹的圆环，不包括环的边界根据模的几何意义，|zi|1表示复数z对应的点到复数i对应的点(0,1)的距离为1.满足|zi|1的点Z的集合为以(0,1)为圆心，以1为半径的圆内的部分(不含圆的边界)1.复数的几何意义(1)复数zabi(a，bR)的对应点的坐标为(a，b)，而不是(a，bi).(2)复数zabi(a，bR)的对应向量是以原点O为起点的，否则就谈不上一一对应，因为复平面上与相等的向量有无数个.2.复数的模(1)复数zabi(a，bR)的模|z|，它表示复数在复平面内对应的点到原点的距离.(2)复数的模是实数绝对值概念的扩充，与实数的绝对值一样也是非负实数，因此复数的模是可以比较大小的.(3)复数的模相等是两个复数相等的必要不充分条件.1已知aR，且0a1，i为虚数单位，则复数za(a1)i在复平面内所对应的点位于()A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限答案D解析0a0且a10，故复数za(a1)i在复平面内所对应的点(a，a1)位于第四象限故选D.2复数z(a22a)(a2a2)i对应的点在虚轴上，则()Aa2或a1 Ba2且a1Ca0 Da2或a0答案D解析由点Z在虚轴上可知，点Z对应的复数是纯虚数和0，a22a0，解得a2或a0.3已知复数z12i(i是虚数单位)，则|z|_.答案解析因为z12i，所以|z|.4已知复数zx2yi(x