关于极坐标的相关知识点(1).doc

.关于极坐标的相关知识点在平面内取一个定点O，叫极点，引一条射线Ox，叫做极轴，再选定一个长度单位和角度的正方向（通常取逆时针方向）。对于平面内任何一点M，用表示线段OM的长度，表示从Ox到OM的角度，叫做点M的极径，叫做点M的极角，有序数对 (,)就叫点M的极坐标，这样建立的坐标系叫做极坐标系。在极坐标中，x被cos代替，y被sin代替。2=(x2+y2)极坐标系是一个二维坐标系统。该坐标系统中的点由一个夹角和一段相对中心点极点（相当于我们较为熟知的直角坐标系中的原点）的距离来表示。极坐标系的应用领域十分广泛，包括数学、物理、工程、航海以及机器人领域。在两点间的关系用夹角和距离很容易表示时，极坐标系便显得尤为有用；而在平面直角坐标系中，这样的关系就只能使用三角函数来表示。对于很多类型的曲线，极坐标方程是最简单的表达形式，甚至对于某些曲线来说，只有极坐标方程能够表示。正如所有的二维坐标系，极坐标系也有两个坐标轴：r（半径坐标）和（角坐标、极角或方位角，有时也表示为或t）。r坐标表示与极点的距离，坐标表示按逆时针方向坐标距离0射线（有时也称作极轴）的角度，极轴就是在平面直角坐标系中的x轴正方向。比如，极坐标中的（3,60）表示了一个距离极点3个单位长度、和极轴夹角为60的点。（3,240） 和（3,60）表示了同一点，因为该点的半径为在夹角射线反向延长线上距离极点3个单位长度的地方（240 180 = 60）。极坐标系中一个重要的特性是，平面直角坐标中的任意一点，可以在极坐标系中有无限种表达形式。通常来说，点（r，）可以任意表示为（r， 2k）或（r， (2k+ 1)），这里k是任意整数。7 如果某一点的r坐标为0，那么无论取何值，该点的位置都落在了极点上。使用弧度单位极坐标系中的角度通常表示为角度或者弧度，使用公式2 rad = 360.具体使用哪一种方式，基本都是由使用场合而定。航海（en:Navigation）方面经常使用角度来进行测量，而物理学的某些领域大量使用到了半径和圆周的比来作运算，所以物理方面更倾向使用弧度。两坐标系转换极坐标系中的两个坐标r和可以由下面的公式转换为直角坐标系下的坐标值x = rcos（），y = rsin（），由上述二公式，可得到从直角坐标系中x和y两坐标如何计算出极坐标下的坐标：r=（+y) = arctan(y/x)在x = 0的情况下：若y为正数 = 90若y为负，则 = 270极坐标方程用极坐标系描述的曲线方程称作极坐标方程，通常用来表示为自变量的函数。极坐标方程经常会表现出不同的对称形式，如果(）= （），则曲线关于极点（0/180）对称，如果（-）= （），则曲线关于极点（90/270）对称，如果（）= （），则曲线相当于从极点逆时针方向旋转。 圆在极坐标系中，圆心在（r，）半径为r的圆的方程为方程为r（）=1的圆=2rcos（-）另：圆心M(,) 半径r 的圆的极坐标方程为:()2+2-2cos(-)=r2根据余弦定理可推得。 直线经过极点的射线由如下方程表示 = ，其中为射线的倾斜角度，若m为直角坐标系的射线的斜率，则有 = arctan m。任何不经过极点的直线都会与某条射线垂直。这些在点（r，）处的直线与射线 = 垂直，其方程为r（）= rsec（ - ） 玫瑰线极坐标的玫瑰线（polar rose）是数学曲线中非常著名的曲线，看上去像花瓣，它只能用极坐标方程方程为 r（） = 2 sin 4的玫瑰线来描述，方程如下：r（）= acos k或r（）= asin k，如果k是整数，当k是奇数时那么曲线将会是k个花瓣，当k是偶数时曲线将是2k个花瓣。如果k为非整数，将产生圆盘（disc）状图形，且花瓣数也为非整数。注意：该方程不可能产生4的倍数加2（如2，6，10）个花瓣。变量a代表玫瑰线花瓣的长度。阿基米德螺线右图为方程r（）= for 0 0，另一条 0。两条螺线在极点处平滑地连接。把其中一条翻转90/270得到其镜像，就是另一条螺线。一条阿基米德螺线圆锥曲线圆锥曲线方程如下： 其中l表示半径，e表示离心率。如果e 1，则表示双曲线。或者 其中e表示离心率，p表示焦点到准线的距离。双绞线取AB为x轴，中点为原点，那么A,B坐标分别为(-a,0),(a,0)设M(x,y),则根号(x+a)2+y2*根号(x-a)2+y2=a2整理得(x2+y2)2=2a2(x2-y2)这就是 双纽线直角坐标方程。在Mathematica中绘制双纽线的语句为：PolarPlotSqrt2 Cos2 t, -Sqrt2 Cos2 t, t, 0, Pi图形如右图：双纽线（a=1）方程(x2+y2)2=2a2(x2-y2)，在极坐标中，可化简为：2=2a2*cos2另一个双纽线的方程(x2+y2)2=4x*y*a2对应的极坐标方程是：2=2a2*sin2补充：如果双纽线的焦距为(20.5)*a，即双纽线方程为(x2+y2)2=a2(x2-y2)，则其极坐标中可化简为：2=a2*c