牛顿迭代法在架空线路中的应用.doc

牛顿迭代法在架空线路中的应用牛顿迭代法（Newtons method）又称为牛顿-拉夫逊方法（Newton-Raphson method），它是牛顿在17世纪提出的一种在实数域和复数域上近似求解方程的方法。多数方程不存在求根公式，因此求精确根非常困难，甚至不可能，从而寻找方程的近似根就显得特别重要。牛顿迭代法是求方程根的重要方法之一，其最大优点是在方程f(x) = 0的单根附近具有平方收敛，而且该法还可以用来求方程的重根、复根,此时线性收敛，但是可通过一些方法变成超线性收敛。另外该方法广泛用于计算机编程中。下面就从其原理、几何意义、迭代步骤及实例等方面介绍牛顿迭代法。一、原理简单迭代法是用直接的方法从原方程中隐含地解出x，从而确定出。而牛顿迭代法是用一种间接而特殊的方法来确定的。下面具体推到牛顿迭代公式。假设是非线性方程为的一个近似根，把在处作泰勒展开：若取前两项来近似代替（称为的线性化），则得近似的线性方程设，令其解为，则得 （1）这称为的牛顿迭代公式。它对应的迭代方程为显然是的同解方程，故其迭代函数为 （）在的根的某个邻域内，在的邻域R内，对任意初值x0，应用由公式(1)来解方程的方法称为牛顿迭代法，它是解代数方程和超越方程的有效方法之一。二、牛顿迭代法的几何意义由(1)式知是点处的切线与x轴的交点的横坐标（如图1）。也就是说，新的近似值是用代替曲线的切线与x轴相交得到的。继续取点，再做切线与x轴相交，又可得，。由图可见，只要初值取的充分靠近，这个序列就会很快收敛于。由此可知，牛顿迭代法的集合意义是用一系列的切线与x轴的交点来逐步逼近曲线与x轴的交点。因此，牛顿迭代法也称切线法。 图1 牛顿迭代法原理三、牛顿迭代法的步骤准备。选定初始近似值及允许误差，计算，；迭代。按公式迭代一次，得到新的近似值，计算，；控制。如果满足，则终止迭代,以作为所求的根；否则转到步骤；修改。如果迭代次数达到预定指定的次数N，或者则方法失败；否则以代替转步骤继续迭代。四、工程实例1、工程概况在架空输电线路的设计中不同气象条件下架空路线的弧垂、应力和线长占有十分重要的位置，是输电线路力学研究的主要内容。这是因为架空线的弧垂和应力直接影响着线路的正常安全运行，而架空线的微小变化和误差都会引起弧垂和应力相当大的改变。设计弧垂小，架空线的拉应力就大，震动现象加剧，安全系数小，同时杆塔载荷增大因而要求强度提高。设计弧垂过大，满足对地安全距离所需杆塔高度增加，线路投资增大，而且架空线的风摆、舞动和跳跃会造成线路停电事故，若加大塔头尺寸，必然会使投资再度提高。因此，设计合适的弧垂是十分重要的。架空线的线长和弧垂是档距、高差和架空比载、应力的函数。当气象条件发生变化时，这些参数将会发生变化。气温的升降引起架空线的热胀冷缩，是线长、弧垂、应力发生相应变化。大风时的覆冰架空线上比载增加，应力增大由于弹性变形使架空线线长增加。不同气象条件下架空线的各参数之间存在着一定的关系。为了使用方便，常将各种气象条件下的架空线的应力和有关弧垂档距的变化用曲线表示出来，这种曲线称之为应力弧垂曲线，亦称力学特性曲线。架空输电线路应力弧垂曲线为线路杆塔设计、计算、施工提供技术资料，针对传统的绘制方法存在效率低、质量差等缺点，通过对应力和弧垂的计算及过程分析，考虑了控制气象条件的主要因素，根据架空线状态方程的特点，采用牛顿迭代法，应用Matlab语言编制了架空线应力和弧垂的计算程序，依据该程序，输入线路的基本参数和迭代初值即可迅速而准确地计算出应力和弧垂值，结合实例绘制了应力弧垂曲线，结果表明该方法可以极大地提高应力和弧垂的计算精度，有效克服认为误差，简化线路设计工作，提高线路设计效率和质量。2、应力弧垂曲线2.1架空线的状态方程当气温、载荷变化时，支撑与两悬挂点间的架空线应力可按状态方程求解。悬挂点等高时孤立档的状态方程为： （2）令A=， B=则式（2）为： （3）式中：E为架空线的弹性系数，为导线半径，l为档距，t为气温。式（3）为悬挂点等高时孤立档的状态方程。对于计算等高连续档得架空应力时，只要将孤立的档距用代表档距表示，状态方程就具有相同的形式；同样，对于悬挂点不等高时，只要引进一些相应系数，就可以表示与式（3）同样的结构形式。解出状态方程即可求出应力，进而求出弧垂。2.2计算各气象条件下的应力和弧垂求解不含一次项的一元三次方程，本文采用牛顿迭代法。令，其导数为： ，则牛顿迭代式为： （4）给出迭代初值，算出、，利用式（4）迭代求出；反复进行下去，直至（为很小的证书，文中取10-4）为止；最终得出满足方程即为架空线的应力。由牛顿迭代法求解架空线应力既简单又准确，比采用计算尺或查表法精度高，可是在牛顿迭代法中，有可能由于初值选择不合适而出现迭代不收敛。因此，事先给定初值，进行有限次迭代。如果没有获得结果，就重定初值进行迭代。根据求解出的应力值，利用弧垂计算公式可计算任何档距下标准弧垂的精确值。采用Matlab语言编制求解架空线应力和弧垂的程序，其流程图如图2所示。是否开始输入气温、比载等参数和迭代初值采用式（4）迭代计算？输出应力和弧垂结束图2 牛顿迭代流程图2.3绘制导线的应力弧垂曲线(1)各气象类型对应的比载及温度如表1所示：表1 气象类型及其对应的比载温度表(2)以控制气象为第一状态，待求状态为第二状态，将第一状态与第二状态所对应的数据分别代入状态方程式： （5）其中令A=， B=，则式（5）可简化为：。以平均气温为第一状态，最大覆冰为第二状态为例，运用迭代法得C程序如下：main()float l,f,g1=0.03275,g2=0.06544,A,B,t1=-5,t2=-5,c=68.51,x,x1,x0,dx;scanf(%f,&l);A=c-(73000*g1*g1*l*l)/(24*c*c)-73000*0.0000196*(t2-t1);B=73000*g2*g2*l*1/24;printf(%f,%f,A,B);x0=1.0;dodx=(x0*x0*x0-A*x0*x0-B)/(3*x0*x0-2*A*x0);x1=x0;x0=x0-dx;while(x0!=x1)printf(nc=%fn,x0);f=(g2*l*l)/(8*x0);printf(f=%f,f);每隔50m，利用以上程序，分别求得表1中九种气象类型下的应力和弧垂，见表2、3、4。表2 地线的应力弧垂曲线数据表表3 地线的应力弧垂曲线数据表比载单位：10-3N/m-mm2；温度单位：；应力单位：N/m-mm2；弧垂单位：m表4 地线的应力弧垂曲线数据表2.4应用Matlab绘制导线的应力弧垂曲线图如图3。图2 Matlab软件绘制出的导线的应力弧垂曲线五、总结作为工程中常用的数据处理分析方法，牛顿迭代法客观上存在优缺点。优点：牛顿迭代法具有平方收敛的速度，所以在迭代过程中只要迭代几次就会得到很精确的解，这是牛顿迭代法比简单迭代法优越的地方；缺点：选定的初值要接近方程的解，否则有可能得不到收敛的结果。再者，牛顿迭代法计算量比较大，因为每次迭代除计算函数值外还要计算微商值。参考文献1 徐士良.数值分析与算法M.北京：机械工业出版社，2008,4：164-1652 倪良华，李翠红.绘制架空输电线路应力弧垂曲线通用软件包的开发J.京工程学学报：自然科学版，2006,4(3)：68-723 曾伟灵.用VB语言编程实现架空线的力学计算J.广东