2011高考数学一轮复习 基本不等式课件

第四节基本不等式 一 基本不等式 a 0 b 0a b 二 常用的几个重要不等式 1 a2 b2 a b R 2 Ab 2 a b R 3 2 a b R 4 a b同号且不为零 2ab 2 上述四个不等式等号成立的条件是什么 提示 上述四个不等式等号成立的条件都是a b 三 算术平均数与几何平均数设a 0 b 0 则a b的算术平均数为 几何平均数为 基本不等式可叙述为 两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数 四 利用基本不等式求最值设x y都是正数 1 如果积xy是定值P 那么当时 和x y有最小值 2 如果和x y是定值S 那么当时积xy有最大值 x y x y 1 下列函数中 最小值为4的函数是 A y x B y sinx 0 x C y ex 4e xD y log3x logx81 答案 C 2 设a b R 已知命题p a2 b2 2ab 命题q 2 则p是q成立的 A 必要不充分条件B 充分不必要条件C 充分必要条件D 既不充分也不必要条件 解析 命题p a b 2 0 a b 命题q a b 2 0 显然 p q 但qp 则p是q的充分不必要条件 答案 B 3 当x 1时 关于函数f x x 下列叙述正确的是 A 函数f x 有最小值2B 函数f x 有最大值2C 函数f x 有最小值3D 函数f x 有最大值3 解析 x 1 x 1 0 答案 C 1 3 4 已知 2 x 0 y 0 则xy的最小值是 解析 2 所以xy 15 当且仅当时等号成立 所以xy的最小值是15 答案 15 5 某公司一年购买某种货物400吨 每次都购买x吨 运费为4万元 次 一年的总存储费用为4x万元 要使一年的总运费与总存储费用之和最小 则x 解析 每年购买次数为 总费用 4 4x 2 160 当且仅当 4x 即x 20时等号成立 故x 20 答案 20 1 利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况 其实质就是从已知的不等式入手 借助不等式性质和基本不等式 经过逐步的逻辑推理 最后推得所证问题 其特征是 由因导果 2 证明不等式时要注意灵活变形 多次利用基本不等式时 注意每次等号是否都成立 同时也要注意应用基本不等式的变形形式 1 已知a 0 b 0 a b 1 求证 4 2 证明 a4 b4 c4 d4 4abcd 1 利用a b 1将要证不等式中的1代换 即可得证 2 利用a2 b2 2ab两两结合即可求证 但需两次利用不等式 注意等号成立的条件 证明 1 a 0 b 0 a b 1 4 当且仅当a b 时等号成立 4 原不等式成立 2 a4 b4 c4 d4 2a2b2 2c2d2 2 a2b2 c2d2 2 2abcd 4abcd 故原不等式得证 等号成立的条件是a2 b2且c2 d2且ab cd 1 已知a b c R 且a b c 1 求证 证明 a b c R 且a b c 1 当且仅当a b c 时取等号 1 利用基本不等式求最值需注意的问题 1 各数 或式 均为正 2 和或积为定值 3 等号能否成立 即 一正 二定 三相等 这三个条件缺一不可 2 合理拆分项或配凑因式是常用的技巧 而拆与凑的目标在于使等号成立 且每项为正值 必要时需出现积为定值或和为定值 3 当多次使用基本不等式时 一定要注意每次是否能保证等号成立 并且要注意取等号的条件的一致性 否则就会出错 因此在利用基本不等式处理问题时 列出等号成立的条件不仅是解题的必要步骤 而且也是检验转换是否有误的一种方法 4 基本不等式的几种变形公式对于基本不等式 不仅要记住原始形式 而且还要掌握它的几种常见的变形形式及公式的逆运用等 如 求下列各题的最值 1 已知x 0 y 0 lgx lgy 1 求z 的最小值 2 x 0 求f x 3x的最小值 3 x 3 求f x x的最大值 1 由条件lgx lgy 1得定值xy 10 故可用基本不等式 2 由x 0 3x 36是常数 故可直接利用基本不等式 3 因 x不是常数 故需变形 f x x 3 3 又x 3 0 故需变号 解 1 由已知条件lgx lgy 1 可得xy 10 则 2 min 2 当且仅当2y 5x 即x 2 y 5时等号成立 2 x 0 f x 等号成立的条件是 3x 即x 2 f x 的最小值是12 3 x 3 x 3 0 3 x 0 f x x x 3 3 3 x 3 2 3 1 当且仅当 3 x 即x 1时 等号成立 故f x 的最大值为 1 2 解下列问题 1 已知a 0 b 0 且4a b 1 求ab的最大值 2 已知x 2 求x 的最小值 3 已知x 0 y 0 且x y 1 求的最小值 解 1 法一 a 0 b 0 4a b 1 1 4a b 2当且仅当4a b 时 等号成立 所以ab的最大值为法二 a 0 b 0 4a b 1 当且仅当4a b 时 等号成立 所以ab的最大值为 2 x 2 x 2 0 当且仅当x 2 即x 4时 等号成立 所以x 的最小值为6 2 6 3 x 0 y 0 x y 1 当且仅当时等号成立 由 当时取等号 所以的最小值为25 在应用基本不等式解决实际问题时 要注意以下四点 1 设变量时一般把求最大值或最小值的变量定义为函数 2 建立相应的函数关系式 确定函数的定义域 3 在定义域内只需再利用基本不等式 求出函数的最值 4 回到实际问题中去 写出实际问题的答案 某养殖厂需定期购买饲料 已知该厂每天需要饲料200千克 每千克饲料的价格为1 8元 饲料的保管与其他费用为平均每千克每天0 03元 购买饲料每次支付运费300元 1 求该厂多少天购买一次饲料才能使平均每天支付的总费用最少 2 若提供饲料的公司规定 当一次购买饲料不少于5吨时其价格可享受八五折优惠 即为原价的85 问该厂是否可以考虑利用此优惠条件 请说明理由 根据已知条件建立 购买天数x 与 平均每天支付的总费用 之间的函数关系式 然后利用基本不等式或函数的单调性解决 解 1 设该厂每x x N 天购买一次饲料 平均每天支付的总费用为y1 饲料的保管与其他费用每天比前一天少200 0 03 6 元 x天饲料的保管与其他费用共是6x 6 x 1 6 x 2 6 3x2 3x 元 从而有y1 3x2 3x 300 200 1 8 3x 363 423 当且仅当 3x 即x 10时 y1有最小值 即每10天购买一次饲料才能使平均每天支付的总费用最少 2 若厂家利用此优惠条件 则至少25天购买一次饲料 设该厂利用此优惠条件 每x天 x 25 购买一次饲料 平均每天支付的总费用为y2 则y2 3x2 3x 300 200 1 8 0 85 3x 309 x 25 y2 3 当x 25时 y2 0 即函数y2在 25 上是增函数 当x 25时 y2取得最小值为396 而396 423 该厂可以接受此优惠条件 3 经观测 某公路段在某时段内的车流量y 千辆 小时 与汽车的平均速度v 千米 小时 之间有函数关系y 1 在该时段内 当汽车的平均速度v为多少时车流量y最大 最大车流量为多少 2 为保证在该时段内车流量至少为10千辆 小时 则汽车的平均速度应控制在什么范围内 解 当散即v 40 千米 小时 时 车流量最大 最大值为11 08 千辆 小量 1 y 2 根题意有化简得v2 89v 1600 0 即 v 25 v 64 0 所以25 v 64 所以汽车的平均速度应控制在 25 64 这个范围内 从近几年的高考试题看 基本不等式的应用一直是高考命题的热点 在选择题 填空题 解答题中都有可能出现 它的应用范围涉及高中数学的很多章节 且常考常新 但是它在高考中却不外乎大小判断 求最值 求取值范围等 2009年湖北卷第17题考查了基本不等式的实际应用 代表了一个重要的高考方向 2009 湖北高考 围建一个面积为360m2的矩形场地 要求矩形场地的一面利用旧墙 利用的旧墙需维修 其他三面围墙要新建 在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为2m的进出口 如图所示 已知旧墙的维修费用为45元 米 新墙的造价为180元 米 设利用的旧墙长度为x 单位 m 修建此矩形场地围墙的总费用为y 单位 元 1 将y表示为x的函数 2 试确定x 使修建此矩形场地围墙的总费用最小 并求出最小总费用 解 1 如图 设矩形的另一边长为am 则y 45x 180 x 2 180 2a 225x 360a 360 由已知xa 360 得a 所以y 225x 360 x 0 x 0