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第四章留数定理及其应用 已讲 一个解析函数在它的解析区域内各处的函数值有很强的内在联系 这突出表现在柯西积分公式及其推论 本章 讨论这种关系的另一种表现形式 解析函数的积分值与函数的奇点的关系 留数定理 复变函数的积分理论与级数理论相结合的产物 第一节留数定理 一 留数定理 二 留数的计算方法 针对不同类型的奇点 有不同的计算公式 见以下公式表或教材p78 表4 1 由公式3 得 我们也可以用公式4来求留数 这比用公式3要简单些 例7 解 所以原式 例6 以上讨论的是对于有限区域内的孤立奇点而言的 留数的概念可以推广到无穷远点的情形 三 无穷远点的留数 四 关于留数和的定理 2 应用 先求出容易求的留数 再利用这个定理求比较难求的留数 第二节几种典型实积分的计算 留数定理的主要应用之一 计算某些实变函数定积分 原理 设法把实变函数定积分跟复变函数回路积分联系起来 把实变定积分联系于复变回路积分的要点 例 P84 例4 2 1 例1计算的值 解 由于0 p 1 被积函数的分母在0 q 2p内不为零 因而积分是有意义的 由于cos2q e2iq e 2iq 2 z2 z 2 2 因此 在被积函数的三个极点z 0 p 1 p中只有前两个在圆周 z 1内 其中z 0为二级极点 z p为一级极点 例2计算的值 解 令 其中 在单位圆外 又 在单位圆内 例3 例4 解 例6计算的值 解 这里R z 在实轴上无孤立奇点 因而所求的积分是存在的 在上半平面内有一级极点ai 四 实轴上有一阶极点的无穷积分 例7计算积分的值 解 因为是偶函数 所以 为了使积分路线不通过原点 取如下图所示的路线 由柯西积分定理 有 令x t 则有 Dirichlet积分 在研究阻尼振动中十分有用 因此 要算出所求积分的值 只需求出极限 下面将证明 由于 所以 j z 在z 0处解析 且j 0 i 当 z 充分小时可使 j z 2 而 由于 在r充分小时 五物理学中常用的实积分 利用留数定理计算实变函数积分的四种典型方法要求被积函数满足一定的条件 实际中遇到的积分 被积函数又往往不满足所需条件 此时利用留数定理计算实积分的基本思想还是一样的 1 选择一个辅助函数和一条闭合回路 增加路径上的积分要么证明为
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