2012湖北省高中数学竞赛预赛试题及参考答案.docx

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.（1）已知集合 ， ，则 = A. B. C. D. （2）已知 ： ， ： ，则 是 的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件（3）函数 （ ）的图象的一条对称轴方程是A B. C. D （4）执行如图所示的程序框图，若输出的结果是 ，则判断框内的条件是A. ? B. ? C. ? D. ？（第4题图）（5）若双曲线 的渐近线与抛物线 相切，则此双曲线的离心率等于 A B C D （6）将一个质点随机投放在关于 的不等式组 所构成的三角形区域内，则该质点到此三角形的三个顶点的距离均不小于 的概率是A B C D （7）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为A B （第7题图）（）已知函数 ，定义函数 给出下列命题： ； 函数 是奇函数；当 时，若 ， ，总有 成立，其中所有正确命题的序号是A B C D第二部分（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡上. （9） 为虚数单位，计算 （10）已知向量 ，若 ，则 的值为 . （11）已知等差数列 的公差为 ， 是 与 的等比中项，则首项 _,前 项和 _.（12）若直线 与圆 相交于 , 两点，且线段 的中点坐标是 ，则直线 的方程为 . （13）某公司一年购买某种货物 吨，每次都购买 吨( 为 的约数)，运费为 万元/次，一年的总存储费用为 万元.若要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则每次需购买 吨（14）数列 的前 项 组成集合 ，从集合 中任取 个数，其所有可能的 个数的乘积的和为 （若只取一个数，规定乘积为此数本身），记 例如当 时， ， ， ；当 时， ， ， ， .则当 时， ；试写出 三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.（15）（本小题满分13分）在 中，角 所对的边分别为 ，且 .（）求函数 的最大值；（）若 ，求b的值（16）（本小题满分13分）为了解某市今年初二年级男生的身体素质状况，从该市初二年级男生中抽取了一部分学生进行“掷实心球”的项目测试.成绩低于6米为不合格，成绩在6至8米（含6米不含8米）的为及格，成绩在8米至12米（含8米和12米，假定该市初二学生掷实心球均不超过12米）为优秀把获得的所有数据，分成 五组，画出的频率分布直方图如图所示已知有4名学生的成绩在10米到12米之间（）求实数 的值及参加“掷实心球”项目 测试的人数；（）根据此次测试成绩的结果，试估计从该市初二年级男生中任意选取一人，“掷实心球”成绩为优秀的概率；（）若从此次测试成绩不合格的男生中随机抽取2名学生再进行其它项目的测试，求所抽取的2名学生来自不同组的概率（17）（本小题满分14分）如图，已知四边形 是正方形， 平面 ， ， ， , , 分别为 , , 的中点. （）求证： 平面 ；（）求证：平面 平面 ；（）在线段 上是否存在一点 ,使 平面 ？若存在，求出线段 的长；若不存在，请说明理由. （18） （本小题满分13分）已知函数 ， （ ）.（）求函数 的单调区间；（）求证：当 时，对于任意 ，总有 成立.（19） （本小题满分14分）已知椭圆 的右焦点 ，长轴的左、右端点分别为 ,且 .（）求椭圆 的方程；（）过焦点 斜率为 的直线 交椭圆 于 两点，弦 的垂直平分线与 轴相交于点 . 试问椭圆 上是否存在点 使得四边形 为菱形？若存在，试求点 到 轴的距离；若不存在，请说明理由.（20）（本小题满分13分）已知实数 （ 且 ）满足 ，记 .（）求 及 的值；（）当 时，求 的最小值；（）当 为奇数时，求 的最小值注： 表示 中任意两个数 , （ ）的乘积之和. 北京市朝阳区高三年级第一次综合练习 数学学科测试答案（文史类）2013.5一、选择题：题号 （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8）答案 D A B C B C A C二、填空题： 题号 （9） （10） （11） （12） （13） （14）答案 或 8； 63；（注：两空的填空，第一空3分，第二空2分）三、解答题：（15）（本小题满分13分）（） .因为 ，所以 .则所以当 ，即 时， 取得最大值，且最大值为 .7分（）由题意知 ，所以 又知 ，所以 ，则 .因为 ，所以 ，则 .由 得， 13分（16）（本小题满分13分）解：（）由题意可知 ，解得 .所以此次测试总人数为 答：此次参加“掷实心球”的项目测试的人数为40人 4分（）由图可知，参加此次“掷实心球”的项目测试的初二男生，成绩优秀的频率为 ，则估计从该市初二年级男生中任意选取一人，“掷实心球”成绩为优秀的概率为 7分（）设事件A：从此次测试成绩不合格的男生中随机抽取2名学生来自不同组由已知，测试成绩在 有2人，记为 ；在 有6人，记为 从这8人中随机抽取2人有 ， 共28种情况 事件A包括 共12种情况 所以 答：随机抽取的2名学生来自不同组的概率为 13分（17）（本小题满分14分）（）证明：因为 , 分别为 ， 的中点，所以 . 又因为 平面 ， 平面 ，所以 平面 . 4分 （）因为 平面 ，所以 .又因为 ， ，所以 平面 .由已知 , 分别为线段 , 的中点，所以 .则 平面 .而 平面 ，所以平面 平面 .9分（）在线段 上存在一点 ，使 平面 .证明如下： 在直角三角形 中，因为 , ,所以 .在直角梯形 中，因为 ， ,所以 ，所以 .又因为 为 的中点，所以 .要使 平面 ，只需使 .因为 平面 ，所以 ，又因为 ， ,所以 平面 ，而 平面 ，所以 .若 ，则 ,可得 . 由已知可求得 ， ， ，所以 .14分（18）（本小题满分13分）解：（）函数 的定义域为 ， .当 时，当 变化时， ， 的变化情况如下表： 当 时， 综上所述，当 时， 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 ， ；当 时， 的单调递增区间为 ， ，单调递减区间为 . 5分 （）由（）可知，当 时， 在 上单调递增， ； 在 上单调递减，且 .所以 时， . 因为 ，所以 ，令 ，得 .当 时，由 ，得 ；由 ，得 ，所以函数 在 上单调递增，在 上单调递减.所以 .因为 ，所以对于任意 ，总有 .当 时， 在 上恒成立，所以函数 在 上单调递增， .所以对于任意 ，仍有 .综上所述，对于任意 ，总有 .13分（19）（本小题满分14分）解：（）依题设 ， ，则 ， .由 ，解得 ，所以 .所以椭圆 的方程为 . 4分 （）依题直线 的方程为 .由 得 .设 , ,弦 的中点为 ，则 ， ， ， ，所以 .直线 的方程为 ，令 ，得 ，则 . 若四边形 为菱形，则 ， .所以 .若点 在椭圆 上，则 .整理得 ，解得 .所以椭圆 上存在点 使得四边形 为菱形.此时点 到 的距离为 . 14分（20）（本小题满分13分）解：（）由已知得 3分 （） 时， 固定 ，仅让 变动，那么 是 的一次函数或常函数，因此 同理 以此类推，我们可以看出， 的最小值必定可以被某一组