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一二维形式的柯西不等式一、选择题1.已知x+y=1,那么2x2+3y2的最小值是()A.B.C.D.解析:2x2+3y2=(x)2+(y)2()2+()2x+y)2=(x+y)2=.当且仅当2x=3y,即x=,y=时等号成立.答案:B2.函数y=+2的最大值是()A.B.C.3D.5解析:根据柯西不等式,知y=1+2,当且仅当=2,即x=时,等号成立.答案:B3.已知x,y0,且xy=1,则的最小值为()A.4B.2C.1D.解析:=22=4,当且仅当x=y=1时等号成立.答案:A4.已知2x2+y2=1,则2x+y的最大值是()A.B.2C.D.3解析:2x+y=x+1y,当且仅当y=x,即x=y=时等号成立,即2x+y取到最大值.答案:C5.如果实数m,n,x,y满足m2+n2=a,x2+y2=b,其中a,b为常数,那么mx+ny的最大值为()A.B.C.D.解析:由柯西不等式,得(mx+ny)2(m2+n2)(x2+y2)=ab,当m=n=,x=y=时,mx+ny=.答案:B二、非选择题6. 设a,b,m,nR,且a2+b2=5,ma+nb=5,则的最小值为.解析:由柯西不等式,得(a2+b2)(m2+n2)(am+bn)2,即5(m2+n2)25,m2+n25,当且仅当an=bm时,等号成立.的最小值为.答案:7.设实数x,y满足3x2+2y26,则2x+y的最大值为.解析:由柯西不等式得(2x+y)2(x)2+(y)2=(3x2+2y2)6=11.当且仅当3x=4y,即x=,y=时等号成立.因此2x+y的最大值为.答案:8.函数y=3+4的最大值为.解析:y2=(3+4)2(32+42)()2+()2=25(x-5+6-x)=25,当且仅当3=4,即x=时等号成立.函数y的最大值为5.答案:59.已知为锐角,a,b0,求证:(a+b)2.解：证明:设m=,n=(cos,sin),则|a+b|=|mn|m|n|=,当且仅当a=kcos2,b=ksin2,kR时等号成立.(a+b)2.10.已知x,试求函数f(x)=3cos x+4的最大值,并求出相应的x的正弦值.解:设m=(3,4),n=(cos x,),则f(x)=3cos x+4=mn=|mn|m|n|=5,当且仅当mn时取等号
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