（试题 试卷 真题）2011年全国中考数学模拟汇编二47开放探究型问题

47.开放探究型问题A组二、填空题(第1题)1（南京市下关区秦淮区沿江区2011年中考一模）如图，正方形ABCD中，点E在边AB上，点G在边AD上，且ECG45，点F在边AD的延长线上，且DF= BE则下列结论：ECB是锐角，；AEAG；CGECGF；EG= BEGD中一定成立的结论有 (写出全部正确结论)答案： 2（南京市六合区2011年中考一模）写出绝对值小于2的一个负数： 答案：不唯一如：13（南京市鼓楼区2011年中考一模）已知点P（x，y）位于第二象限，并且yx4，x、y为整数，符合上述条件的点P共有 个 答案：6三、解答题1（南京市雨花台2011年中考一模）（8分）如图，ABC中，点O在边AB上，过点O作BC的平行线交ABC的平分线于点D，过点B作BEBD，交直线OD于点E。（1）求证：OEOD ；（2）当点O在什么位置时，四边形BDAE是矩形？说明理由；（第4题）（3）在满足（2）的条件下，还需ABC满足什么条件时，四边形BDAE是正方形？写出你确定的条件，并画出图形，不必证明。 解：（1）是的平分线，。， 3分（2）当点是边的中点时，四边形是矩形。4分理由：当点是边的中点时，四边形是平行四边形四边形是矩形 5分（3）是以为直角的直角三角形时，四边形是正方形。 6分（说出“为直角”即可） 如图2。（可以不将四边形画完整） 8分（其它解法，正确合理可参照给分。）2、（南京市浦口区2011年中考一模（6分）如图，在和中，、交于点M.（1）求证：；（2）作交于点N，四边形BNCM是什么四边形？请证明你的结论.解：（1）在ABC和DCB中，AB=DC,AC=DB,BC为公共边.ABCDCB（SSS） 2分（2）四边形BNCM为菱形3分ABCDCBDBC=ACB即 MB=MC 4分BNAC ,CNBD四边形BNCM为平行四边形. 5分又MB=MC平行四边形BNCM为菱形. 6分3（南京市江宁区2011年中考一模）（本题6分）如图，四边形是正方形，点在上，垂足为，请你在上确定一点，使，请你写出两种确定点G的方案，并写出其中一种方案的具体作法和证明方案一： ；方案二：（1）作法：(2) 证明：答案：解：方案：（一）过点B作BGAE,垂足为G； （二）在AE上截取AG=DF； （三）作交AE于点G；2分（注：其中任意一个均可作为方案一，另外再选择一个作为方案二）（作法正确）3分（2）如果是过点B作BGAE,垂足为G，证明如下：，BGAE，.4分由题意知，.5分四边形是正方形，AD=AB, 在与中，AD=AB,（AAS）. 6分如果是在AE上截取AG=DF，证明如下：，ADAE，.4分四边形是正方形，AD=AB, 5分在与中，AG=DF，AD=AB,（SAS）. 6分如果作交AE于点G，证明如下：，ADAE，.4分四边形是正方形，AD=AB, 5分在与中， AD=AB， （ASA）. 6分4（南京市建邺区2011年中考一模）（9分）操作：小明准备制作棱长为1cm的正方体纸盒，现选用一些废弃的圆形纸片进行如下设计：说明：方案一图形中的圆过点A、B、C；方案二直角三角形的两直角边与展开图左下角的正方形边重合，斜边经过两个正方形的顶点ABC方案一方案二纸片利用率=100%发现：（1）方案一中的点A、B恰好为该圆一直径的两个端点你认为小明的这个发现是否正确，请说明理由（2）小明通过计算，发现方案一中纸片的利用率仅约为38.2%请帮忙计算方案二的利用率，并写出求解过程 探究：（3）小明感觉上面两个方案的利用率均偏低，又进行了新的设计（方案三），请直接写出方案三的利用率方案三说明：方案三中的每条边均过其中两个正方形的顶点发现：（1）小明的这个发现正确1分理由：解法一：如图一：连接AC、BC、AB，ACBC，ABAC2+BC2AB2 BAC90，2分AB为该圆的直径3分解法二：如图二：连接AC、BC、AB易证AMCBNC，ACMCBN又BCNCBN90，BCNACM90，即BAC90，2分AB为该圆的直径3分图一M图二NCBADEFH图三（2）如图三：易证ADEEHF，ADEH14分DEBC，ADEACB，BC85分SACB166分该方案纸片利用率100%100%37.5% 7分探究：（3）9分5.（2011广州六校一摸）如图，已知矩形，在上取两点（在左边），以为边作等边三角形，使顶点在上，分别交于点（1）求的边长；（2）在不添加辅助线的情况下，当与不重合时，先直接判断与是如下关系中的哪一种：然后证明你的判断。与全等；与相似；与成中心对称；与成轴对称；（3）若的边在线段上移动试猜想：与有何数量关系？并证明你猜想的结论25.（1）过作于矩形，即，又是等边三角形在中，的边长为（2）判断：矩形又（3）猜想：与的数量关系是：证法一：在中，是等边三角形证法二：在中，是等边三角形，在中，即在中，证法三：在中，是等边三角形即把代入得，6. (2011增城市综合测试)如图，正方形ABCD的边长为2, H是BC为直径的半圆上的一点，过点H作一条直线与半圆相切交AB、CD分别于点E、F。（1）当点H在半圆上移动时，切线EF在AB、CD上的两交点也分别在AB、CD上移动（E与A不重合，F与D不重合），试问四边形AEFD的周长是否变化？证明你的结论。（2）若BEF=,求四边形BEFC的周长。（3）若=6, BOE的面积为，COF的面积为面积为，正方形ABCD的面积为s, 若+=s,求BE、CF的长。答案: 解：（1）四边形AEFD的周长不变。 1分 B=C=,BC为的直径，AB、DC为的切线, EF切于H，EB = EH ，FC = FH ， EF = EB + FC 四边形AEFD的周长=AE+EF+FD+AD=AB+CD+DA=6 （2）四边形BEFC的周长为（），BEF=，CFE=， 由（1）得EO,FO分别平分BEF，CFE，BEO=，CFO=， BE=，CF=， 四边形BEFC的周长为（） （3）若=6，则=3BE， =3CF， s=144, +=s, BE+FC=13, 由（2）BEO+CFO=得，BEO=FOCBEO COF，BEFC=66=36， BE、CF为方程的两根，解得x19，x24BE=9，CF=4 B组47.开放探究型问题1(广州四中2011年初三第一次模拟测试)如图，ABC中AB=AC，BC=6，点P从点B出发沿射线BA移动，同时，点Q从点C出发沿线段AC的延长线移动，已知点P、Q移动的速度相同，PQ与直线BC相交于点D（1）如图，当点P为AB的中点时，求CD的长；（2）如图，过点P作直线BC的垂线垂足为E，当点P、Q在移动的过程中，线段BE、DE、CD中是否存在长度保持不变的线段？请说明理由； 解：(1) 如图，过P点作交BC于F P是AB的中点 易证得 -6分 (2)分两种情况讨论，得为定值，是不变的线段 如图，如果点P在线段AB上，过点P作交BC于F 为等腰三角形 为定值-10分 同理，如图，若P在BA的延长线上，作的延长线于M 综上所述，线段ED的长度保持不变-14分 2 （北京市西城区2011年初三一模试卷）在RtABC中，C=90，D，E分别为CB，CA延长线上的点，BE与AD的交点为P. （1）若BD=AC，AE=CD，在图1中画出符合题意的图形，并直接写出APE的度数； （答案2）若，求APE的度数.答案解：（1）如图9，APE= 45 . 2分 （2）解法一：如图10，将AE平移到DF，连接BF，EF 3分则四边形AEFD是平行四边形 ADEF，AD=EF ， ， 4分 C=90， C=BDF ACDBDF5分 ，1=2图10 1+3=90， 2+3=90 BFAD BFEF6分 在RtBEF中， APE=BEF =307分解法二：如图11，将CA平移到DF，连接AF，BF，EF3分则四边形ACDF是平行四边形 C=90， 四边形ACDF是矩形，AFD=CAF= 90，1+2=90图11 在RtAEF中，在RtBDF中， 3+2=1+2=90，即EFB =90 AFD=EFB 4分 又 ， ADFEBF 5分 4=56分 APE+4=3+5， APE=3=307分3.(2011年浙江嵊州新昌中考数学模拟试题)将正方形ABCD绕中心O顺时针旋转角得到正方形，如图1所示. （1）当=45时(如图2)，若线段与边的交点为，线段与的交点为，可得下列结论成立 ；，试选择一个证明.答案（2）当时,第（1）小题中的结论还成立吗?如果成立，请证明;如果不成立，请说明理由.答案图2（3）在旋转过程中，记正方形与AB边相交于P,Q两点，探究的度数是否发生变化？如果变化，请描述它与之间的关系;如果不变，请直接写出的度数.图1答案（1