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文档简介

1 复习 若能把某个量表示成定积分 我们就可以应用定积分计算这个量 1 根据具体情况 选取积分变量 如 x 确定x的变化区间 a b 2 把区间 a b 分成n个小区间 取一代表区间 求出该区间上所求量的部分量的近似表达式 量U的元素 3 写出定积分的表达式 也叫微分元素 1 元素法计算量U的步骤 2 2 平面图形的面积 X 型 Y 型 注意 恰当的选择积分变量 坐标系有助于简化积分运算 3 二 体积 第二节 一 平面图形的面积 三 平面曲线的弧长 定积分在几何学上的应用 第六章 4 一 已知平行截面面积函数的立体体积 设所给立体垂直于x轴的截面面积为A x 则在小区间 的体积元素为 立体体积为 上连续 A x x a b 5 1 曲边梯形 旋转一周围成的旋转体的体积为 2 曲边梯形 绕y轴旋转一周围成的旋转体体积为 二 旋转体的体积 6 解 直线方程为 P278例6 7 解 如图 解方程组 得曲线的交点 若绕y轴旋转呢 8 例3 计算由椭圆 所围图形绕x轴旋转而成的 椭球体的体积 解 方法1利用直角坐标方程 则 利用对称性 P279例7 9 方法2利用椭圆参数方程 则 特别当b a时 就得半径为a的球体的体积 说明 利用参数方程计算体积相当于定积分的换元 10 例4 计算抛物线 解 如图 求两曲线的交点 11 解 如图 12 a b y x o x dx 生成的旋转的体积 求旋转体体积 x dx 内表面积 柱壳法 13 a b y x o x dx 生成的旋转的体积 求旋转体体积 柱壳法 x dx 底面积 14 围成的曲边梯形绕y轴旋转一周 所以 由连续曲线 类似地 如果旋转体是由连续曲线 而成的立体的体积 而成的立体的体积 15 例6 计算摆线 平面图形分别绕x轴 y轴旋转而成的立体体积 解 绕x轴旋转而成的体积为 P280例8 用柱壳法求较好 16 X 型 Y 型 阶段小结 由元素法可得 平行截面面积为已知的立体的体积 注意 1 以上公式都要求 2 复杂图形应学会分割 3 不能用公式时应会元素法 17 而成的旋转体的体积 分析 无公式可用 可用元素法 如图 例7 解法1 选择y作积分变量 解法2 选择x作积分变量 18 例8 一平面经过半径为R的圆柱体的底圆中心 并与底面 交成 角 解 如图所示取坐标系 则圆的方程为 垂直于x轴的截面是直角三角形 其面积为 利用对称性 计算该平面截圆柱体所得立体的体积 19 R o x y 20 y R x R o 21 o y R x R R ytan x y x 22 请熟记以下公式 X 型 Y 型
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